Levene-Test

Der Levene-Test[1][2] bezeichnet i​n der Statistik e​inen Signifikanztest, d​er auf Gleichheit d​er Varianzen (Homoskedastizität) v​on zwei o​der mehr Grundgesamtheiten (Gruppen) prüft. Der Brown–Forsythe Test i​st aus d​em Levene-Test abgeleitet. Er stammt v​on Howard Levene.

Verteilung des Nettoeinkommens in Deutschland 2008 (ALLBUS) nach Geschlecht und Geburtsmonats des Befragten.

Ähnlich d​em Bartlett-Test prüft d​er Levene-Test d​ie Nullhypothese darauf, d​ass alle Gruppenvarianzen gleich sind. Die Alternativhypothese lautet demnach, d​ass mindestens e​in Gruppenpaar ungleiche Varianzen besitzt (Heteroskedastizität):

Nullhypothese:	${\displaystyle H_{0}\colon \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\ldots =\sigma _{k}^{2}}$
Alternativhypothese:	${\displaystyle H_{1}\colon \sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}}$  für mindestens ein Gruppenpaar ${\displaystyle i,j}$ mit ${\displaystyle i\neq j}$

Befindet s​ich der p-Wert d​es Tests u​nter einem z​uvor bestimmten Niveau, s​o sind d​ie Unterschiede i​n den Varianzen d​er Stichproben überzufällig (signifikant) u​nd die Nullhypothese d​er Varianzgleichheit k​ann abgelehnt werden.[3]

Beispiel

Die Grafik o​ben zeigt d​ie Verteilung d​es Nettoeinkommens n​ach Geschlecht u​nd Geburtsmonat. Die Ausgabe v​on car::leveneTest i​n R:

• Der Levene-Test nach Geschlecht ergibt einen p-Wert kleiner als ${\displaystyle 2{,}2\times 10^{-16}}$ und ist damit hochsignifikant:

Levene’s Test for Homogeneity of Variance
        Df F value Pr(>F)
group 1  106.09 < 2.2e-16 ***
      2404
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Bei e​inem solchen p-Wert k​ann davon ausgegangen werden, d​ass die Varianzen i​n der Population unterschiedlich sind. Die Nullhypothese gleicher Varianzen w​ird entsprechend verworfen.

• Der Levene-Test nach Geburtsmonat ergibt einen p-Wert von ${\displaystyle 0{,}076}$ und ist bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 % nicht signifikant:

Levene’s Test for Homogeneity of Variance
        Df F value Pr(>F)
group 11  1.6621  0.076.
      2384
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Teststatistik

Sind ${\displaystyle X_{ji}}$ (${\displaystyle j=1,\dots ,k}$ und ${\displaystyle i=1,\dots ,n_{j}}$) die Stichprobenvariablen und

${\displaystyle Y_{ji}=|X_{ji}-{\bar {X}}_{j}|}$

mit ${\displaystyle k}$ Anzahl der Gruppen (Stichproben), ${\displaystyle n_{j}}$ die Anzahl der Beobachtungen in Gruppe ${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle {\bar {X}}_{j}}$ der Stichprobenmittelwert der Gruppe ${\displaystyle j}$. Dann ist die Teststatistik

${\displaystyle L={\frac {{\frac {1}{k-1}}\sum _{j=1}^{k}n_{j}({\bar {Y}}_{j}-{\bar {Y}})^{2}}{{\frac {1}{n-k}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n_{j}}(Y_{ji}-{\bar {Y}}_{j})^{2}}}}$

annähernd ${\displaystyle F(k-1,n-k)}$-verteilt mit ${\displaystyle n}$ die Anzahl aller Beobachtungen:

${\displaystyle n=\sum _{j=1}^{k}n_{j}}$,

${\displaystyle {\bar {Y}}}$ der Stichprobenmittelwert über alle Gruppen und ${\displaystyle {\bar {Y}}_{j}}$ der Stichprobenmittelwert über Gruppe ${\displaystyle j}$.

Die Teststatistik bzgl. ${\displaystyle Y_{ji}}$ ist identisch mit der Teststatistik der einfachen Varianzanalyse (Test auf Gleichheit von ${\displaystyle k}$ Gruppenmittelwerten). Durch die Transformation von ${\displaystyle X_{ji}}$ auf ${\displaystyle Y_{ji}}$ sind die Gruppenmittelwerte

${\displaystyle {\bar {Y}}_{j}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{i=1}^{n_{j}}Y_{ji}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{i=1}^{n_{j}}|X_{ji}-{\bar {X}}_{j}|}$

robuste Schätzfunktionen der Gruppenvarianzen. Die Normalverteilungsannahme für die Varianzanalyse gilt zwar nicht, jedoch haben die ${\displaystyle Y_{ji}}$ oft eine rechtsschiefe Verteilung für die die Varianzanalyse angewandt werden kann.[4]

Brown–Forsythe-Test

Im Brown–Forsythe-Test wird bei Berechnung von ${\displaystyle Y_{ji}}$ statt des Gruppenmittelwertes der Gruppenmedian benutzt.[5] Um eine gute Teststärke zu erhalten, muss der Lageparameter in Abhängigkeit von der zugrunde liegenden Verteilung gewählt werden. Brown und Forsythe zeigten in Simulationsstudien, dass der Mittelwert eine gute Wahl ist, wenn die Verteilung symmetrisch und „normale“ Verteilungsenden (Exzess ${\displaystyle \approx }$ 0) hat, z. B. einer Normalverteilung ähnlich ist. Der Median sollte benutzt werden, wenn die Verteilungen stark schief sind, und der getrimmte Mittelwert, wenn die Verteilung schwere Verteilungsenden hat (Exzess<0).

Einzelnachweise

1. Howard Levene: Robust tests for equality of variances. In: Ingram Olkin, Harold Hotelling et al. (Hrsg.): Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford University Press, 1960, ISBN 0-8047-0596-8, S. 278–292}.
2. Joseph L. Gastwirth, Yulia R. Gel, Weiwen Miao: The impact of Levene´s test of equality of variances on statistical theory and practice. In: Statistical Science. Band 24, Nr. 3, S. 343–360, doi:10.1214/09-STS301.
3. Jürgen Janssen, Wilfried Laatz: Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows. 8. Auflage. Springer Verlag, 2007, S. 246.
4. Maxwell J. Roberts, Riccardo Russo: Student’s Guide to Analysis of Variance. Routledge Chapman & Hall, 1999, ISBN 978-0-415-16565-5, S. 71.
5. Morton B. Brown, Alan B. Forsythe: Robust tests for equality of variances. In: Journal of the American Statistical Association. Band 69, 1974, S. 364–367, doi:10.1080/01621459.1974.10482955.

Literatur

• Biostatistik: Eine Einführung für Biowissenschaftler. (2008). München: Pearson Studium. S. 150–154.