Sphärische Kovarianzstruktur

In der Statistik liegt eine sphärische Kovarianzstruktur vor, wenn die Kovarianzmatrix proportional zur Einheitsmatrix ist.[1] Beispielsweise ist die aus der multiplen linearen Regression bekannte Kovarianzmatrix ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } =\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}}$ sphärisch.

Multiple lineare Regression

Das klassische Beispiel e​iner sphärischen Kovarianzstruktur i​st das d​er Kovarianzmatrix d​es Vektors d​er Störgrößen i​n einer multiplen linearen Regression. In d​er multiplen linearen Regression werden, s​tatt lediglich d​ie Varianzen u​nd Kovarianzen d​er Störgrößen einzeln z​u betrachten, d​iese in folgender Kovarianzmatrix zusammengefasst:

${\displaystyle \mathbf {\Sigma } =\operatorname {Cov} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0&\cdots &0\\0&\sigma ^{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\sigma ^{2}\end{pmatrix}}_{(n\times n)}=\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ die unbekannte (wahre) skalare Varianz der Störgrößen, die sich erwartungstreu schätzen lässt durch ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}/(n-p)}$. Da diese Kovarianzmatrix proportional zu Einheitsmatrix ist (${\displaystyle \mathbf {\Sigma } \propto \mathbf {I} _{n}}$), wird diese Kovarianzstruktur als sphärisch bezeichnet. Kovarianzstrukturen dieser Art werden aufgrund des folgenden Zusammenhangs als sphärisch bezeichnet: Die Hypothese, dass die Realisierungen der Antwortvariablen ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k}}$ unabhängig sind und die gleiche Varianz aufweisen (Homoskedastizität), lässt sich überprüfen, indem man die Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}:\mathbf {\Sigma } =\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}}$ gegen die Alternativhypothese ${\displaystyle H_{1}:\mathbf {\Sigma } \neq \sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}}$ testet. Unter der Gültigkeit der Nullhypothese reduziert sich der Hyperellipsoid ${\displaystyle \left(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }}\right)^{\top }\mathbf {\Sigma } ^{-1}\left(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }}\right)=c^{2}}$ zu ${\displaystyle \left(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }}\right)^{\top }\left(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }}\right)=\sigma ^{2}c^{2}}$, was der Gleichung einer Sphäre entspricht.[2] Anders ausgedrückt liegt eine sphärische Struktur der Kovarianzmatrix bzw. sphärische Störgrößen vor, wenn die Unkorreliertheits- und Homoskedastizitätsannahme bzgl. der Störgrößen gelten:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=\operatorname {E} [(\varepsilon _{i}-\operatorname {E} (\varepsilon _{i}))((\varepsilon _{j}-\operatorname {E} (\varepsilon _{j}))]=\operatorname {E} (\varepsilon _{i}\varepsilon _{j})=0\quad \forall i\neq j,\;i=1,\ldots ,n,\;j=1,\ldots ,n}$ und ${\displaystyle \forall i:\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (Y_{i})=\sigma ^{2}\quad ,i=1,\ldots ,n}$.

Diese Annahmen zählen zu den Annahmen des klassischen linearen Regressionsmodells.[3] Um die Hypothese zu überprüfen, ob die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit kommt, in der die Variablen unkorreliert sind, wird oft der Bartlett-Test auf Sphärizität herangezogen. Er testet, ob die Stichproben-Korrelationsmatrix signifikant von einer Einheitsmatrix abweicht: ${\displaystyle H_{0}:\mathbf {R} =\mathbf {I} \,}$ gegen ${\displaystyle H_{1}:\mathbf {R} \neq \mathbf {I} }$. Es wird also getestet, ob die Korrelationsmatrix überzufällig von einer Einheitsmatrix abweicht, da im Falle der Einheitsmatrix alle Außerdiagonaleinträge null sind (es liegen keine Korrelationen zwischen den Variablen vor).[4]

Einzelnachweise

1. Fumio Hayashi: Econometrics., Princeton University Press., 2000, S. 54.
2. Alvin C. Rencher: Methods of multivariate analysis. Vol. 492. John Wiley & Sons, 2003. S. 250.
3. Fumio Hayashi: Econometrics., Princeton University Press., 2000, S. 10
4. Klaus Backhaus: Multivariate Analysemethoden eine anwendungsorientierte Einführung. Hrsg.: Springer Gabler. Springer, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-56654-1, S. 376.