Banach-Saks-Eigenschaft

Die Banach-Saks-Eigenschaft, benannt n​ach Stefan Banach u​nd Stanisław Saks, i​st eine mathematische Eigenschaft a​us der Theorie d​er Banachräume. Sie sichert z​u einer beschränkten Folge d​ie Existenz e​iner Teilfolge, d​ie im arithmetischen Mittel konvergiert.

Definition und Motivation

Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat die Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in X eine Cesàro-konvergente Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ hat, das heißt, wenn es ein ${\displaystyle x\in X}$ gibt mit ${\displaystyle \left\|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{m_{n}}-x\right\|\rightarrow 0}$.

Die Banach-Saks-Eigenschaft w​ird von vielen Autoren m​it BSP (Banach-Saks property) abgekürzt.

Nach e​inem bekannten Satz v​on Mazur k​ann man d​en Grenzwert e​iner schwach-konvergenten Folge d​urch Konvexkombinationen d​er Folgenglieder i​n der Normtopologie approximieren. Dabei stellt s​ich die Frage, o​b man dies, zumindest n​ach Übergang z​u einer Teilfolge, s​ogar durch d​as arithmetische Mittel erreichen kann. Wenn m​an ohnehin z​u Teilfolgen übergehen muss, s​o kann m​an versuchen, s​tatt der schwach-konvergenten Folgen beschränkte Folgen z​u betrachten, denn, zumindest i​n reflexiven Räumen, i​n denen d​ie Einheitskugel bekanntlich schwach-kompakt u​nd daher n​ach dem Satz v​on Eberlein–Šmulian s​ogar schwach-folgenkompakt ist, k​ann man a​us beschränkten Folgen schwach-konvergente Teilfolgen auswählen. Diese Überlegungen führen d​ann zu d​er oben gegebenen Definition.

Beispiele

• Hilberträume haben die Banach-Saks-Eigenschaft.
• Die L^p([0,1])-Räume, ${\displaystyle 1<p<\infty }$, haben die Banach-Saks-Eigenschaft.
• S.Kakutani: Gleichmäßig konvexe Räume haben die Banach-Saks-Eigenschaft, die Umkehrung gilt nicht.
• Nach einem Satz von T. Nishiura and D. Waterman sind Banachräume mit der Banach-Saks-Eigenschaft reflexiv, die Umkehrung gilt nicht. Man hat daher folgende Einordnung

Gleichmäßig konvex ${\displaystyle \Rightarrow }$ super-reflexiv ${\displaystyle \Rightarrow }$ Banach-Saks-Eigenschaft ${\displaystyle \Rightarrow }$ reflexiv.

• Nicht-reflexive Räume, wie etwa die Folgenräume ${\displaystyle c_{0}}$ oder ${\displaystyle \ell ^{1}}$, sind daher Beispiele für Banachräume ohne Banach-Saks-Eigenschaft.

Vererbung

• Die Banach-Saks-Eigenschaft vererbt sich auf abgeschlossene Unterräume und Quotientenräume.
• Ist umgekehrt ${\displaystyle X}$ ein Banachraum mit einem abgeschlossenen Unterraum ${\displaystyle Y}$, so dass ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle X/Y}$ die Banach-Saks-Eigenschaft haben, so hat auch ${\displaystyle X}$ die Banach-Saks-Eigenschaft.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Banachraum mit der Banach-Saks-Eigenschaft und ist ${\displaystyle Y}$ ein zu ${\displaystyle X}$ isomorpher Banachraum, so hat auch ${\displaystyle Y}$ die Banach-Saks-Eigenschaft. Für gleichmäßig konvexe Räume gilt diese Vererbungseigenschaft nicht, denn gleichmäßige Konvexität ist eine Eigenschaft der Norm.
• Die Banach-Saks-Eigenschaft vererbt sich nicht auf den Dualraum.

Verwandte Begriffe

Die p-Banach-Saks-Eigenschaft

Ein Banachraum hat die ${\displaystyle p}$-Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle X}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ enthält, für die es ein ${\displaystyle x\in X}$ und eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ gibt mit ${\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq C\cdot N^{\frac {1}{p}}}$ für alle ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$. (Die Konstante ${\displaystyle C>0}$ kann dabei von der betrachteten Folge abhängen, nicht aber von ${\displaystyle N}$.)

Aus der ${\displaystyle p}$-Banach-Saks-Eigenschaft, ${\displaystyle p>1}$, folgt die Banach-Saks-Eigenschaft, denn ${\displaystyle \left\|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{m_{n}}-x\right\|={\frac {1}{N}}\left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq {\frac {1}{N}}\cdot C\cdot N^{\frac {1}{p}}=C\cdot N^{{\frac {1}{p}}-1}\rightarrow 0}$.

Stefan Banach und Stanisław Saks haben in ihrer 1930er Arbeit im Wesentlichen gezeigt, dass die L^p([0,1])-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ die heute so genannte p-Banach-Saks-Eigenschaft haben. Das ist historisch der Ausgangspunkt für die Untersuchung der Banach-Saks-Eigenschaft.

Die alternierende Banach-Saks-Eigenschaft

Da Banachräume mit der Banach-Saks-Eigenschaft reflexiv sind, stellt sich die Frage, welche Eigenschaft umgekehrt ein reflexiver Baum haben muss, um die Banach-Saks-Eigenschaft zu haben. Dabei kommt die hier vorgestellte Eigenschaft ins Spiel: Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat die alternierende Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle X}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ besitzt, so dass ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x_{m_{n}}}$ bezüglich der Normtopologie konvergiert. M. I. Ostrowskii hat folgende Charakterisierung gezeigt:

• Ein Banachraum hat genau dann die Banach-Saks-Eigenschaft, wenn er reflexiv ist und die alternierende Banach-Saks-Eigenschaft hat.

Die schwache Banach-Saks-Eigenschaft

Ein Banachraum hat die schwache Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede schwache Nullfolge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in X eine Cesàro-konvergente Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ hat, das heißt, es gibt ein ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle \left\|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{m_{n}}-x\right\|\rightarrow 0}$.

Da schwache Nullfolgen beschränkt sind, folgt aus der Banach-Saks-Eigenschaft die schwache Banach-Saks-Eigenschaft. Die Räume ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ (bewiesen von W. Schlenk) und die Folgenräume ${\displaystyle c_{0}}$ und ${\displaystyle \ell ^{1}}$ haben die schwache Banach-Saks-Eigenschaft, aber wegen fehlender Reflexivität nicht die Banach-Saks-Eigenschaft. Der Funktionenraum ${\displaystyle C([0,1])}$ und der Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ sind Beispiele für Banachräume ohne die schwache Banach-Saks-Eigenschaft. Die schwache Banach-Saks-Eigenschaft vererbt sich auf abgeschlossene Teilräume, nicht jedoch auf Quotientenräume.

Auch für die p-Banach-Saks-Eigenschaft gibt es eine schwache Variante: Ein Banachraum hat die schwache ${\displaystyle p}$-Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede schwache Nullfolge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle X}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ enthält, für die es ein ${\displaystyle x\in X}$ und eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ gibt mit ${\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq C\cdot N^{\frac {1}{p}}}$.

Aus der p-Banach-Saks-Eigenschaft folgt die schwache p-Banach-Saks-Eigenschaft, denn schwache Nullfolgen sind beschränkt, und aus der schwachen p-Banach-Saks-Eigenschaft folgt die schwache Banach-Saks-Eigenschaft, ${\displaystyle 1<p<\infty }$.

Quellen

• S. Banach and S. Saks: Sur la convergence forte dans les champs L^p, Studia Mathematica, Band 2, Seiten 51–57 (1930).
• Jesus M. Castillo, Manuel Gonzales: Three-space Problems in Banach Space Theory, Lecture Notes in Mathematics, Band 1667 (1997), ISBN 978-3-540-63344-0
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
• S. Kakutani: Weak convergence in uniformly convex spaces, Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) Seiten 165–167
• T. Nishiura, D. Waterman: Reflexivity and summability, Studia Mathematica, Band 23 (1963) Seiten 53–57
• N. Okada: On the Banach-Saks property, Proceedings Japan Academy, Band 60, Serie A (1984), Seiten 246–248
• W. Schlenk: Sur les suites faiblement convergents dans l'espace L, Studia Mathematica, Band 25 (1969) Seiten 337–341