Akbulut-Korken

In der Mathematik kommen Akbulut-Korken in der Theorie 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten vor. Insbesondere werden sie bei der Konstruktion exotischer 4-dimensionaler Räume (${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$‘s) verwendet.

Während für topologische 4-Mannigfaltigkeiten d​er h-Kobordismus-Satz gilt, i​st dies für differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten n​icht der Fall. Stattdessen g​ilt aber d​er folgende Satz v​on Cynthia L. Curtis, Michael Freedman, Wu-Chung Hsiang, Robert Stong:[1]

In jedem 5-dimensionalen h-Kobordismus ${\displaystyle W}$ zwischen 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ gibt es kompakte, zusammenziehbare 4-dimensionale Untermannigfaltigkeiten mit Rand ${\displaystyle A\subset M,B\subset N}$ und einen in ${\displaystyle W}$ als Untermannigfaltigkeit mit Rand enthaltenen (kompakten und zusammenziehbaren) h-Kobordismus ${\displaystyle K}$ zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, so dass ${\displaystyle W}$ außerhalb von ${\displaystyle K}$ ein trivialer Kobordismus ist, es also einen Diffeomorphismus

${\displaystyle W\setminus Int(K)\simeq (M\setminus Int(A))\times \left[0,1\right]}$

gibt. ${\displaystyle K}$ kann so gewählt werden, dass es diffeomorph zur Vollkugel ${\displaystyle {\mathbf {D} }^{5}}$ ist, dass ${\displaystyle W\setminus K}$ einfach zusammenhängend ist und dass es einen Diffeomorphismus ${\displaystyle A\to B}$ gibt, dessen Einschränkung auf den Rand eine Involution ist.

Zwei h-kobordante 4-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M,N}$ müssen also nicht diffeomorph sein, man kann aber ${\displaystyle N}$ aus ${\displaystyle M}$ gewinnen durch Ausschneiden einer kompakten, zusammenziehbaren Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle A}$ und Wiedereinkleben mittels einer Involution von ${\displaystyle \partial A}$.

Die 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle A}$ ist homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Vollkugel ${\displaystyle {\mathbf {D} }^{4}}$ und wird als ein Akbulut-Korken bezeichnet. Er ist nach Selman Akbulut benannt.[2][3]

Jeder Akbulut-Korken kann in einen exotischen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ eingebettet werden. Genauer kann man im obigen Satz einen ${\displaystyle K}$ enthaltenden und außerhalb von ${\displaystyle K}$ trivialen, offenen, h-Kobordismus ${\displaystyle U\subset W}$ finden, der homöomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \left[0,1\right]}$ ist.

Literatur

• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8
• Robert Gompf, Andras Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus, American Mathematical Society 1999

Einzelnachweise

1. Curtis, Freedman, Hsiang, Stong: A decomposition theorem for h-cobordant smooth simply-connected compact 4-manifolds, Inventiones Mathematicae, Band 126, 1996, S. 343–348
2. S. Akbulut, A Fake compact contractible 4-manifold, Journal of Differential Geometry, Band 33, 1991, S. 335–356
3. S. Akbulut, An exotic 4-manifold, Journal of Differential Geometry, Band 33, 1991, S. 357–361, Project Euclid