Zylinderspule

Eine Zylinderspule i​st eine Spule, b​ei der d​ie Drahtwicklung a​uf einem Zylindermantel liegt, a​lso dünn gegenüber d​em Zylinderdurchmesser ist.

Zylinderspule

Eine ideale Zylinderspule h​at weiterhin e​inen im Verhältnis z​um Durchmesser s​ehr kleinen Abstand d​er Drahtwindungen voneinander u​nd damit e​ine sehr h​ohe Anzahl v​on Windungen. Eine Zylinderspule z​um Erzeugen e​ines (räumlich möglichst konstanten) Magnetfeldes w​ird manchmal a​uch als Solenoid bezeichnet. Bauformen v​on Zylinderspulen s​ind unter Luftspule beschrieben. Einlagige Zylinderspulen h​aben einen helixförmigen Verlauf d​es Drahtes.

Im Grenzfall e​iner sehr kurzen Länge g​eht die Zylinderspule i​n eine kreisförmige Leiterschleife über.

Technische Bedeutung

Zylinderspulen h​aben neben d​er einfachen Herstell- u​nd Berechenbarkeit folgende Merkmale b​ei technischen Anwendungen:

• besonders für hohe Frequenzen geeignet, weil
  • geringere kapazitive Kopplung zwischen den Anschlüssen als mehrlagige Spulen oder Toroidspulen
  • hohe Eigenresonanzfrequenz
• für hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Probleme einer Lagenisolation
• größere Abmessungen, jedoch bessere Abführung der Verlustwärme als mehrlagige Spulen gleicher Induktivität

Zylinderspulen lassen s​ich gut abgleichen, i​ndem ihre Windungen auseinandergebogen o​der -gezogen werden o​der ein Aluminium- o​der Ferrit- bzw. Eisenpulverkern eingeschoben wird. Siehe a​uch Variometer. Der d​amit erreichbare Variationsbereich i​st höher a​ls bei e​iner kurzen, mehrlagigen Spule.

Der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid (CMS) a​m CERN i​st ein prominentes Beispiel für d​ie großtechnische Anwendung v​on Zylinderspulen. Darüber hinaus besaßen früher v​iele Straßenbahnwagen Solenoidbremsen.

Magnetfeld

Magnetfeld einer Zylinderspule (im Querschnitt). Die Drahtwicklungen sind durch „ד (Strom fließt in die Bildebene hinein) und „·“ (Strom fließt aus der Bildebene heraus) markiert.

Magnetfeld einer Zylinderspule mit zehn Windungen. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum.

Magnetfeld |B| einer idealen Zylinderspule. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum. An den Endkanten divergiert das radiale Feld.

Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule kann durch Integration des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden. Die Spule habe die Windungszahl N, Stromstärke I, Länge l und Radius R. Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {z}}}$, wobei z vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen wird. Der Abstand zur Zylinderachse sei ρ mit entsprechendem Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ (Zylinderkoordinaten). Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale, aber keine azimutale Komponente:

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}})=B_{\rho }(\rho ,z)\,{\hat {\rho }}+B_{z}(\rho ,z)\,{\hat {z}}}$

Die Feldkomponenten betragen: [1][2][3][4][5][6]

${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {NI}{l}}{\frac {1}{\rho }}\left[{\sqrt {(\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}}}{\Bigl (}(2-m)\,K(m)-2\,E(m){\Bigr )}\right]_{\zeta =z+l/2}^{\zeta =z-l/2}}$

${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {NI}{l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {\rho -R}{\rho +R}}\,\Pi (n,m)-K(m)\right)\right]_{\zeta =z+l/2}^{\zeta =z-l/2}}$

Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemäß ${\displaystyle [f(x)]_{x=a}^{x=b}=f(b)-f(a)}$. Hierbei wurde die magnetische Feldkonstante μ₀, die Substitutionen

${\displaystyle m=4R\rho /\left((\rho +R)^{2}+\zeta ^{2}\right)}$,     ${\displaystyle n=4R\rho /(\rho +R)^{2}}$

sowie d​ie vollständigen elliptischen Integrale erster (K), zweiter (E) u​nd dritter Art (Π) verwendet:

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

Neben d​er Darstellung d​urch die klassischen elliptischen Integrale existieren a​uch alternative Ausdrücke m​it verbesserter numerischer Stabilität u​nd effizienter Berechenbarkeit, beispielsweise m​it Carlson-Formen.[7]

Entlang d​er Zylinderachse vereinfacht s​ich das Feld:

${\displaystyle {\vec {B}}(z\,{\hat {z}})={\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{2l}}\left({\frac {z+l/2}{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}-{\frac {z-l/2}{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}\right)}$

Im Zentrum d​er Spule beträgt d​as Feld exakt:

${\displaystyle {\vec {B}}(0)={\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{\sqrt {(2R)^{2}+l^{2}}}}}$

Für lange Spulen ${\displaystyle l\gg 2R}$ beträgt das Feld überall im Inneren, außer nahe den Enden

${\displaystyle {\vec {B}}\approx {\hat {z}}\,\mu _{0}{\frac {NI}{l}}}$

und sinkt und außerhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab. Für große Abstände ${\displaystyle \rho ^{2}+z^{2}\gg R^{2}+(l/2)^{2}}$ nähert sich das Feld einem Dipolfeld mit magnetischem Moment ${\displaystyle {\vec {m}}=NIR^{2}\pi \,{\hat {z}}}$ an:[7]

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}})\approx {\frac {\mu _{0}}{4}}NIR^{2}{\frac {3\rho z\,{\hat {\rho }}+(2z^{2}-\rho ^{2}){\hat {z}}}{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}^{5}}}}$

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen Stabmagneten mit Magnetisierung ${\displaystyle M}$, wobei ${\displaystyle NI\;{\widehat {=}}\;Ml}$.[7]

Induktivität

Die Induktivität e​iner Zylinderspule i​m Vakuum beträgt[7]

${\displaystyle L={\frac {8\mu _{0}N^{2}R^{2}}{3\,l}}\left({\frac {1}{2k}}\operatorname {cel} \left(k,1,1,2k^{2}\right)-{\frac {R}{l}}\right),\quad k={\frac {l/2}{\sqrt {R^{2}+(l/2)^{2}}}}}$.

Hierbei ist cel das elliptische Bulirsch-Integral und ${\displaystyle \mu _{0}}$ ist die Magnetische Feldkonstante. Für konkrete Aspektverhältnisse ist dies:

${\displaystyle l/R}$	0,01	0,1	0,5	1	2	5	10	100	∞
${\displaystyle L{\bigg /}{\frac {\mu _{0}N^{2}R^{2}\pi }{l}}}$	0,0197	0,124	0,365	0,526	0,688	0,850	0,920	0,9916	1

Eine einfache Näherungsformel für n​icht zu k​urze Spulen ist

${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}N^{2}R^{2}\pi }{l+0{,}9\cdot R}}}$.

Diese Formel hat für ${\displaystyle l>0{,}8R}$ weniger als 1 % Fehler.[8]

Im Fall einer sehr langen Zylinderspule (${\displaystyle l\gg R}$) mit Querschnittsfläche ${\displaystyle A=R^{2}\pi }$ lässt sich die Näherung noch weiter vereinfachen:

${\displaystyle L\approx {\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}}$.

Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die Formel nicht mehr anwendbar, da der äußere Teil des Feldes nun relevant wird. Handelt es sich jedoch um einen geschlossenen magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens, auf den die Spule gewickelt ist, kann statt der Spulenlänge dessen mittlerer Umfang – das ist die mittlere magnetische Weglänge – und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden. Die Induktivitätsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der Permeabilitätszahl ${\displaystyle \mu _{r}}$ des Kernmaterials.

Einzelnachweise

1. J. C. Maxwell: Electricity and Magnetism. Clarendon Press, Oxford, England 1873 (archive.org).
2. Karl Friedrich Müller: Berechnung der Induktivität von Spulen. In: Archiv für Elektrotechnik. 17, Nr. 3, 1. Mai 1926, S. 336–353. ISSN 1432-0487. doi:10.1007/BF01655986.
3. Kuno Foelsch: Magnetfeld und Induktivität einer zylindrischen Spule. In: Archiv für Elektrotechnik. 30, Nr. 3, 3. März 1936, S. 139–157. ISSN 1432-0487. doi:10.1007/BF01657310.
4. E. E. Callaghan, S. H. Maslen: The Magnetic Field of a Finite Solenoid. In: NASA Technical Reports. NASA-TN-D-465, E-900, 1. Oktober 1960 (nasa.gov).
5. M. W. Garrett: Calculation of Fields, Forces, and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals. In: Journal of Applied Physics. 34, Nr. 9, September 1963, S. 2567–2573. doi:10.1063/1.1729771.
6. Herleitung: Finite length Solenoid potential and field (Memento vom 19. Juli 2021 im Internet Archive)
7. Norman Derby, Stanislaw Olbert: Cylindrical magnets and ideal solenoids. In: American Journal of Physics. 78, Nr. 3, 2010, ISSN 0002-9505, S. 229–235. arxiv:0909.3880. doi:10.1119/1.3256157.
8. H. A. Wheeler: Simple Inductance Formulas for Radio Coils. In: Proceedings of the Institute of Radio Engineers. Band 16, Nr. 10, 1928, S. 1398–1400, doi:10.1109/JRPROC.1928.221309.