Zyklische Zahl

Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl[1][2]) ist eine ${\displaystyle n}$-stellige natürliche Zahl, deren Produkt bei Multiplikation mit einer natürlichen Zahl von 1 bis ${\displaystyle n}$ die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge enthält.

Die zyklische Zahl 142857 multipliziert mit den Zahlen 1 bis 6

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl i​m Dezimalsystem i​st die 142857:

${\displaystyle 1\cdot 142.857=142.857}$

${\displaystyle 2\cdot 142.857=285.714}$

${\displaystyle 3\cdot 142.857=428.571}$

${\displaystyle 4\cdot 142.857=571.428}$

${\displaystyle 5\cdot 142.857=714.285}$

${\displaystyle 6\cdot 142.857=857.142}$

${\displaystyle 7\cdot 142.857=999.999}$

Generierung

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: ${\displaystyle {\overline {142857}}}$. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 … (Folge A001913 in OEIS)

Generatorzahlen im Dezimalsystem sind genau die Primzahlen ${\displaystyle p}$, welche die folgenden Bedingungen erfüllen[3]:

1. Die Zahlenbasis 10 ist kein Vielfaches von ${\displaystyle p}$.

2. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle 0<n<p-1}$ ist ${\displaystyle 10^{n}-1}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle p}$.

3. ${\displaystyle p}$ teilt die Zahl ${\displaystyle 10^{p-1}-1}$, das heißt ${\displaystyle 10^{p-1}-1}$ ist Vielfaches von ${\displaystyle p}$ bzw. es gilt ${\displaystyle 10^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$.

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige bekannte, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode von ${\displaystyle {\tfrac {1}{487^{2}}}}$ auch nur so viele Stellen wie die von ${\displaystyle {\tfrac {1}{487}}}$, eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.[4]

Werte

Triviale zyklische Zahlen sind alle einstelligen Zahlen (${\displaystyle n=1}$). Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:

1. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
2. 0588235294117647   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
3. 052631578947368421   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
4. 0434782608695652173913   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
5. 0344827586206896551724137931   (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

Eigenschaften

• Jede nicht-triviale zyklische Zahl ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
• Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
• Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142 + 857 = 999 und 14 + 28 + 57 = 99 (Midy's Theorem).[5] Dafür muss die Gruppenlänge hinreichend groß sein. Ist die Anzahl der Stellen durch eine Zahl beginnend bei 1 nicht teilbar, so sind für Aufteilungen in eine größere Anzahl an Gruppen keine Neunen-Folge mehr zu erwarten.
• Der Anteil der Generatorzahlen an der Menge aller Primzahlen ist die Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS). Diese ist über die Lucas-Zahlen mit der Primzetafunktion verknüpft und bestimmbar.

Andere Zahlenbasen

Zyklische Zahlen lassen s​ich in f​ast allen Zahlensystemen bilden, sofern d​eren Zahlenbasis k​eine Quadratzahl ist; i​m Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) o​der im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) g​ibt es d​aher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zyklische Zahl i​m Binärsystem

1. 0001011101 × 0001 = 0001011101
2. 0001011101 × 0010 = 0010111010
3. 0001011101 × 0011 = 0100010111
4. 0001011101 × 0100 = 0101110100
5. 0001011101 × 0101 = 0111010001
6. 0001011101 × 0110 = 1000101110
7. 0001011101 × 0111 = 1010001011
8. 0001011101 × 1000 = 1011101000
9. 0001011101 × 1001 = 1101000101
10. 0001011101 × 1010 = 1110100010
11. 0001011101 × 1011 = 1111111111

In vielen Zahlenbasen kann man zyklische Zahlen ${\displaystyle z}$ nach der Formel ${\displaystyle z={\frac {B^{q-1}-1}{q}}}$ (mit der Zahlenbasis ${\displaystyle B}$ und dem Teiler ${\displaystyle q}$) darstellen, sofern ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle q}$ ( ${\displaystyle 0<q<B}$ ) teilerfremd sind und die Modulzahl (${\displaystyle B}$ modulo ${\displaystyle q}$) nicht , ${\displaystyle 1}$ oder größer ${\displaystyle 3}$ sind. Schöne zyklische Zahlen enthalten jede Ziffer nur einmal. Hier ist eine Tabelle aus jüngster Zeit:

1. ${\displaystyle B=5}$, ${\displaystyle q=3}$: 13
2. ${\displaystyle B=7}$, ${\displaystyle q=5}$: 1254
3. ${\displaystyle B=8}$, ${\displaystyle q=5}$: 1463
4. ${\displaystyle B=10}$, ${\displaystyle q=7}$: 142857
5. ${\displaystyle B=12}$, ${\displaystyle q=7}$: 186A35
6. ${\displaystyle B=13}$, ${\displaystyle q=11}$: 12495BA837
7. ${\displaystyle B=20}$, ${\displaystyle q=17}$: 13ABF5HCIG984E27
8. ${\displaystyle B=22}$, ${\displaystyle q=19}$: 13A95H826KIBCG4DJF
9. ${\displaystyle B=31}$, ${\displaystyle q=29}$: 248H36CPK9J7ETSQMDROI5ALBNG
10. ${\displaystyle B=32}$, ${\displaystyle q=29}$: 139TPC4D7N5GHKUSM26JRIO8QFEB
11. ${\displaystyle B=34}$, ${\displaystyle q=31}$: 139TKSHILVRE8QAWUO4D5GFC26JP7N
12. ${\displaystyle B=39}$, ${\displaystyle q=37}$: 1248GXSHZWQDRFVO9IbaYUM5AL36CPBN7ETK
13. ${\displaystyle B=46}$, ${\displaystyle q=43}$: 139SeThdQYAW4CcNORbKEigaH5G26JBZDfX7MLI8PV
14. ${\displaystyle B=50}$, ${\displaystyle q=47}$: 139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH
15. ${\displaystyle B=56}$, ${\displaystyle q=53}$: 139STWgEiL7MAVd5FlUZphHrnasqkRQNDfBYmXjOGoe8PK4Cc26J
16. ${\displaystyle B=63}$, ${\displaystyle q=61}$: 1248GX36COna9IbBMjRtmY5AKfJdFUzywskTxuocDQriPpeHZ7ESvqgLhNlW

Dabei werden d​ie Buchstaben A, B, C, ... für d​ie Ziffernwerte 10, 11, 12, ... verwendet s​owie a, b, c, ... für d​ie Ziffernwerte 36, 37, 38, ...

Siehe auch

Parasitäre Zahl

Literatur

• Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
• Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Washington 1932 (3 Bde.)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cyclic Number. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
2. Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
3. Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime. In: MathWorld (englisch).
4. Factorizations of 11…11 (Repunit). (Memento vom 12. November 2013 im Internet Archive)
5. Eric W. Weisstein: Midy's Theorem. In: MathWorld (englisch).