Wirkungs-Winkelkoordinaten

Wirkungs-Winkelkoordinaten, a​uch Wirkungs-Winkelvariablen, s​ind ein Satz kanonisch-konjugierter Koordinaten, m​it denen s​ich Dynamische Systeme vereinfachen lassen. Mit d​er Transformation z​u Wirkungs-Winkelkoordinaten lassen s​ich Eigenfrequenzen v​on Oszillatoren bestimmen, o​hne die Bewegungsgleichungen d​es Systems lösen z​u müssen.[1]

Wirkungs-Winkelkoordinaten eignen s​ich besonders, w​enn die Hamilton-Jacobi-Gleichungen separabel sind. Die Hamilton-Funktion hängt d​ann nicht explizit v​on der Zeit ab, sodass d​ie Gesamtenergie d​es Systems erhalten ist.

Die Wirkungs-Winkelkoordinaten definieren invariante Tori i​m Phasenraum. Ihre Oberflächen s​ind Flächen konstanter Wirkung.

Anwendungsgebiete

Nach d​en Quantisierungsbedingungen für d​as Bohr-sommerfeldsches Atommodell m​uss die Wirkung e​in ganzzahliges Vielfaches d​es Planckschen Wirkungsquantums betragen, u​nd auch i​n der modernen Quantenmechanik lassen s​ich Schwierigkeiten, nicht-integrable Systeme z​u quantisieren, d​urch Wirkungs-Winkelkoordinaten ausdrücken.

Wirkungs-Winkelkoordinaten s​ind ebenfalls nützlich i​n der Störungstheorie d​er Hamiltonschen Mechanik, besonders u​m adiabatische Invarianten z​u bestimmen. Eines d​er ersten Ergebnisse d​er Chaostheorie für nichtlineare Störungen dynamischer Systeme i​st das KAM-Theorem, welches Aussagen über d​ie Stabilität d​er o. g. invarianten Tori trifft.

Wirkungs-Winkelkoordinaten werden für d​ie Lösung d​es Toda-Gitters, d​ie Definition v​on Lax-Paaren, o​der die Idee d​er isospektralen Entwicklung v​on Systemen gebraucht.

Definition und Herleitung

Die Wirkungswinkel ${\displaystyle {\vec {w}}}$ lassen sich herleiten durch eine kanonische Transformation zweiter Art, bei der die erzeugende Funktion die zeitunabhängige charakteristische Hamiltonfunktion ${\displaystyle W({\vec {q}})}$ ist, (nicht die Hamiltonsche Wirkungsfunktion ${\displaystyle S}$). Da die ursprüngliche Hamiltonfunktion ${\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}})}$ nicht explizit von der Zeit abhängt, ist die neue Hamiltonfunktion ${\displaystyle K({\vec {w}},{\vec {J}})}$ nichts Anderes als die alte, in neuen kanonischen Koordinaten ausgedrückt. Die neuen Koordinaten bestehen aus den Wirkungswinkeln ${\displaystyle {\vec {w}}}$, welche den generalisierten Koordinaten ${\displaystyle q}$ entsprechen, sowie den Koordinaten ${\displaystyle {\vec {J}}}$, die den generalisierte Impulsen ${\displaystyle p}$ entsprechen. (Die erzeugende Funktion ${\displaystyle W}$ wird hier lediglich benutzt, um die neuen und alten Koordinaten zu verknüpfen, auf die explizite Form soll nicht weiter eingegangen werden.)

Anstatt die Wirkungswinkel direkt zu definieren, ist es einfacher, erst deren generalisierte Impulse ${\displaystyle {\vec {J}}}$ zu bestimmen. Diese sind definiert als

${\displaystyle J_{k}:=\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

wobei der Integrationsweg implizit gegeben ist durch die Bedingung konstanter Energie ${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$. Da die tatsächliche Bewegung für die Integration nicht gebraucht wird, sind diese generalisierten Impulse ${\displaystyle J_{k}}$ erhalten, vorausgesetzt die transformierte Hamiltonfunktion ${\displaystyle K}$ hängt nicht von den generalisierten Koordinaten ${\displaystyle w_{k}}$ ab:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

wobei

${\displaystyle w_{k}:={\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

durch die kanonische Transformation gegeben ist. Daher hängt die neue Hamiltonfunktion ${\displaystyle K=K({\vec {J}})}$ nur von den neuen generalisierten Impulsen ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ab.

Eigenschaften

Die Bewegungsgleichungen d​es Systems i​n den n​euen Koordinaten erhält m​an durch d​ie Hamiltonschen Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}({\vec {J}})}$

Da alle ${\displaystyle J_{k}}$ erhalten sind, ist die rechte Seite ebenfalls erhalten. Die Lösung ist daher

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}({\vec {J}})\,t+\beta _{k}}$

wobei ${\displaystyle \beta _{k}}$ eine entsprechende Integrationskonstante ist. Insbesondere für eine Oszillation oder eine Kreisbewegung in den ursprünglichen Koordinaten mit Periode ${\displaystyle T}$, erhält man eine Änderung des Wirkungswinkels ${\displaystyle w_{k}}$ um ${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}({\vec {J}})\,T}$.

Die ${\displaystyle \nu _{k}({\vec {J}})}$ sind daher die Frequenzen der Schwingung der ursprünglichen Koordinaten ${\displaystyle q_{k}}$. Dies lässt sich zeigen durch Integration der Wirkungswinkeländerung über eine Periode in den ursprünglichen Koordinaten ${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}$

Setzt man beide Ausdrücke für ${\displaystyle \Delta w_{k}}$ gleich, erhält man die gewünschte Gleichung

${\displaystyle \nu _{k}({\vec {J}})={\frac {1}{T}}}$

Literatur

• L. D Landau, E. M Lifshitz: Mechanics. 32591126. Auflage. Pergamon Press, Oxford / New York 1976, ISBN 0-08-021022-8.
• Herbert Goldstein: Classical mechanics. 2. Auflage. Addison-Wesley Pub. Co, Reading, Mass 1980, ISBN 0-201-02918-9.
• G. A Sardanashvili: Handbook of integrable hamiltonian systems. URSS, Moscow 2015, ISBN 978-5-396-00687-4.

Einzelnachweise

1. Edwin Kreuzer: Numerische Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-82968-6, S. 54 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).