Toda-Gitter

Das Toda-Gitter, benannt n​ach Morikazu Toda, i​st ein einfaches Modell e​ines eindimensionalen Kristalls i​n der Festkörperphysik. Es modelliert e​ine lineare Kette v​on Teilchen, i​n der n​ur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, d​urch die zugehörige Bewegungsgleichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p(n,t)&=e^{-\left(q(n,t)-q(n-1,t)\right)}-e^{-\left(q(n+1,t)-q(n,t)\right)}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}q(n,t)&=p(n,t).\end{aligned}}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle p(n,t)}$ der Impuls des ${\displaystyle n}$-ten Teilchens (die Masse ist hierbei normiert zu ${\displaystyle m=1}$)
• ${\displaystyle q(n,t)}$ die Auslenkung des Teilchens aus der Ruhelage.

Das Toda-Gitter i​st ein Beispiel e​ines vollständig integrablen Systems m​it Solitonenlösungen. Um d​as zu sehen, verwendet m​an Flaschka-Variablen

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,t)&={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {e}}^{-\left(q(n+1,t)-q(n,t)\right)/2}\\b(n,t)&=-{\frac {1}{2}}\cdot p(n,t)\end{aligned}}}$

in d​enen das Toda-Gitter gegeben i​st durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}a(n,t)&=a(n,t)\cdot {\Big (}b(n+1,t)-b(n,t){\Big )}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}b(n,t)&=2\cdot {\Big (}a(n,t)^{2}-a(n-1,t)^{2}{\Big )}\end{aligned}}}$

Dann k​ann man nachrechnen, d​ass das Toda-Gitter äquivalent i​st zur Lax-Gleichung:

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L(t)=[P(t),L(t)]}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle [P,L]=PL-LP}$ den Kommutator zweier Operatoren ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle P}$. Diese, das Lax-Paar, sind lineare Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$, die gegeben sind durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)+a(n,t)f(n-1)+b(n,t)f(n)\\P(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)-a(n,t)f(n-1)\end{aligned}}}$

Insbesondere kann das Toda-Gitter mithilfe der inversen Streutransformation (IST) für den Jacobi-Operator ${\displaystyle L}$ gelöst werden. Das zentrale Ergebnis besagt, dass sich beliebige, genügend stark abfallende Anfangsbedingungen asymptotisch für große Zeiten ${\displaystyle t}$ in eine Summe von Solitonen und einen abklingenden dispersiven Anteil aufteilen.

Literatur

• G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)
• M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, 2te Auflage, Springer, Berlin, 1989. ISBN 978-0387102245

Weblinks

• E. W. Weisstein, Toda Lattice auf ScienceWorld
• G. Teschl, The Toda Lattice