Weg (Physik)

Ein Weg eines als punktförmig angenommenen Objektes ist der Verlauf seines Ortes bei fortschreitender Zeit infolge seiner Bewegung. Der Weg wird auch als Bahn bezeichnet; er verläuft entlang einer Bahnkurve.[1][2] Die Position auf dem Weg wird durch einen Ortsvektor relativ zu einem beliebig wählbaren Bezugspunkt beschrieben,[3][4] welcher als ruhend angenommen wird.[5] Das bevorzugte Formelzeichen zum Weg ist das ${\displaystyle s}$ (von lat. spatium Raum, Ausdehnung, Entfernung).

Teilweise w​ird mit d​em Begriff „Weg“ s​eine Länge entlang d​er Bahnkurve gemeint. Zur Unterscheidung w​ird diese skalare Größe a​uch als zurückgelegter Weg, Wegstrecke o​der Bogenlänge bezeichnet.[6][7][8]

Weg als Verlauf des Ortes

→ Hauptartikel: Trajektorie (Physik)

Der Weg als Verlauf des Ortes eines punktförmigen Objekts kann durch Berechnungen als Lösung einer Bewegungsgleichung, die aber nur in sehr einfachen Fällen in geschlossener Form angegeben werden kann, oder durch Messungen z. B. von Teilchen in einer Drahtkammer bestimmt werden. Als Parameter für den Verlauf können entweder die Zeit oder die Wegstrecke gewählt werden: Wahlweise ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ oder ${\displaystyle {\vec {r}}(s)}$.

Weglänge

Ortsvektor und Wegelement bei der Bewegung auf einer Bahn

Die Weglänge (vor allem wenn Wellen bzw. Strömungen betrachtet werden auch Lauflänge genannt) von A nach B ist die Summe aller Wegstrecken zwischen A und B. Für genügend kleine, geometrisch einfache oder geradlinige Wegstücke ${\displaystyle \Delta s}$ gilt:

${\displaystyle s_{\mathrm {AB} }=\sum _{A}^{B}\Delta s\qquad }$

Wenn sich ein physikalischer Körper bewegt, so ändert sich sein Ort kontinuierlich im Laufe der Zeit. Die Kurve, die er dabei beschreibt, wird Trajektorie oder Bahnkurve genannt. Das skalare Wegelement ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ ist der Betrag der infinitesimalen Ortsänderung ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$:

${\displaystyle \mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|=|{\vec {v}}(t)|\;\mathrm {d} t}$

Bei d​er Berechnung d​er Weglänge g​eht dann d​ie Summation i​n eine Integration über. Man erhält s​o die Länge d​es zwischen d​en beiden Zeiten zurückgelegten Teils d​er Bahnkurve:

${\displaystyle s=\int \limits _{(1)}^{(2)}\mathrm {d} s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|{\vec {v}}(t)|\;\mathrm {d} t}$

Im Allgemeinen ist die Weglänge ${\displaystyle s}$ länger als die Entfernung zwischen Anfang und Ende der Bahnkurve.

Eine Vereinfachung ergibt sich bei einem eindimensionalen Vorgang: Die Vektoren können durch Skalare ersetzt werden. Beispielsweise bei einem senkrechten Wurf nach oben gilt mit der Fallbeschleunigung ${\displaystyle g}$, der Anfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}>0}$ beim Anfangszeitpunkt ${\displaystyle t_{0}=0}$, der Ort-Zeit-Funktion ${\displaystyle h(t)}$ und der Anfangshöhe ${\displaystyle h=0}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}-g\;t}$.

${\displaystyle h(t)=v_{0}\;t-{\frac {g}{2}}\;t^{2}}$.

Der Wurf erreicht eine maximale Steighöhe ${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={v_{0}}^{2}/(2g)}$; dort ist ${\displaystyle v=0}$. An dieser Stelle kehrt ${\displaystyle v}$ sein Vorzeichen um. Die Wegstrecke bis zum Ausgangspunkt errechnet sich zu:

${\displaystyle s=\int \limits _{0}^{2v_{0}/g}|v(t)|\;\mathrm {d} t=2\int \limits _{0}^{v_{0}/g}(v_{0}-g\;t)\;\mathrm {d} t={v_{0}}^{2}/g}$

Weg in einem physikalischen Feld

Wird ein Objekt in einem physikalischen Feld längs eines Weges vom Ort A zum Ort B verschoben, die durch die Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{B}}$ gegeben sind und wirkt auf das Objekt eine Feldkraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ein, so wird durch das Feld eine Arbeit ${\displaystyle W_{\mathrm {AB} }}$ verrichtet

${\displaystyle W_{\mathrm {AB} }=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}$.

Handelt es sich um ein homogenes Feld, so ist ${\displaystyle {\vec {F}}}$ eine ortsunabhängige Konstante. Dann gilt

${\displaystyle W_{\mathrm {AB} }={\vec {F}}\cdot \left(\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} {\vec {s}}\right)={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}_{\mathrm {AB} }}$

da die Integration des vektoriellen Wegelements ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}}$ den Verschiebungsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {AB} }}$ von A nach B ergibt.

Beispielsweise wird von einem konstanten, homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}}$ an einer Ladung ${\displaystyle q}$, dis sich in diesem Feld von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ bewegt, die Arbeit

${\displaystyle W_{\mathrm {AB} }=q\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=q{\vec {E}}\cdot {\vec {r}}_{AB}}$

verrichtet.

Wenn e​in Feld e​in Quellen- o​der Potentialfeld ist, d​ann ist d​ie dadurch verursachte Kraft e​ine konservativen Kraft. Die Arbeit für d​ie Verschiebung d​es Körpers v​on einem Ort z​u einem anderen hängt d​ann nur v​on der Lage d​er beiden Orte ab, n​icht aber v​om Verlauf d​es Weges dazwischen. Dies m​eint man, w​enn man v​on einer wegunabhängigen Arbeit spricht.

Entsprechendes gilt für eine bewegte Masse im Gravitationsfeld. Mit der auf eine zeitunabhängige Masse ${\displaystyle m}$ einwirkenden Kraft, die gleich Masse mal Beschleunigung ist, also mit ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}}$ ergibt sich[9]

${\displaystyle W_{\mathrm {AB} }=m\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=m\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t=m\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} (v^{2})={\frac {m}{2}}{v_{\mathrm {B} }}^{2}-{\frac {m}{2}}{v_{\mathrm {A} }}^{2}}$.

Die Arbeit i​st nur v​on der kinetischen Energie b​ei Anfangs- u​nd Endpunkt abhängig u​nd nicht v​on der kinetischen Energie während d​es Weges.

Einzelnachweise

1. Walter Weizel: Lehrbuch der theoretischen Physik: Band 1 Physik der Vorgänge. Springer, 2. Aufl. 1955, S. 5
2. Ernst Grimsehl, Kurt Altenburg: Grimsehl Lehrbuch der Physik: Band 1 Mechanik • Akustik • Wärmelehre. Springer, 27. Aufl. 1991, S. 27
3. Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik 3: Band 3: Kinematik und Kinetik. Oldenbourg, 14. Aufl. 2007, S. 62
4. Gottfried Falk, Wolfgang Ruppel: Mechanik, Relativität, Gravitation: Die Physik des Naturwissenschaftlers. Springer, 3. Aufl. 1983, S. 23.
5. Paul Dobrinski, Gunter Krakau, Anselm Vogel: Physik für Ingenieure. Vieweg+Teubner, 12. Aufl. 2010, S. 17.
6. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3: Vektoranalysis … Springer Vieweg, 7. Aufl. 2016, S. 12 ff
7. Klaus Lüders, Robert O. Pohl (Hrsg.): Pohls Einführung in die Physik: Mechanik, Akustik und Wärmelehre. Springer, 19. Aufl., S. 11.
8. Helmut Lindner: Physik für Ingenieure. Vieweg, 12. Aufl. 1991, S. 34
9. Walter Weizel: S. 10