Vergleichsspannung

Die Vergleichsspannung i​st ein Begriff a​us der Festigkeitslehre. Dieser bezeichnet e​ine fiktive einachsige Spannung, d​ie aufgrund e​ines bestimmten werkstoffmechanischen bzw. mathematischen Kriteriums e​ine hypothetisch gleichwertige Materialbeanspruchung darstellt w​ie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.

Vergleichsspannung

Tresca- und Mises-Festigkeitskriterium im Spannungsraum

Anhand d​er Vergleichsspannung k​ann der wirkliche, i​m Allgemeinen dreidimensionale Spannungszustand i​m Bauteil i​n der Festigkeits- o​der in d​er Fließbedingung m​it den Kennwerten a​us dem einachsigen Zugversuch (Material-Kennwerte, z. B. Streckgrenze o​der Zugfestigkeit) verglichen werden.

Grundlagen

Zur vollständigen Beschreibung des Spannungszustandes in einem Bauteil ist im Allgemeinen die Angabe des Spannungstensors (symmetrischer Tensor 2. Stufe) notwendig. Dieser enthält im allgemeinen Fall (Kräfte- und Momentengleichgewicht) sechs verschiedene Spannungswerte (da einander zugeordnete Schubspannungen gleich sind). Durch die Transformation des Spannungstensors in ein ausgezeichnetes Koordinatensystem (das Hauptachsensystem) werden die Schubspannungen zu Null und drei ausgezeichnete (Normal)Spannungen (die Hauptspannungen) beschreiben den Beanspruchungszustand des Systems äquivalent.

Die Elemente des Vektors der Hauptspannungen bzw. des Spannungstensors können nun in einen Skalar überführt werden, der zwei Bedingungen genügen soll:

• zum einen soll er den Spannungszustand möglichst umfassend beschreiben (Äquivalenz kann hier nicht mehr erreicht werden: es treten immer Informationsverluste beim Übergang vom Vektor der Hauptspannungen zur Vergleichsspannung auf)
• zum anderen soll er auf jeden Fall eine versagensrelevante Information darstellen.

Anwendungsbereiche von Festigkeitshypothesen. SH: Schubspannungshypothese, GEH: Gestaltänderungshypothese, NH: Normalspannungshypothese.

Die Rechenvorschrift z​ur Bildung dieser skalaren Vergleichsspannung bezeichnet m​an als Vergleichspannungshypothese bzw. a​ls Versagensregel. Im Rahmen e​iner Tragfähigkeitsanalyse vergleicht m​an die Vergleichsspannung m​it zulässigen Spannungen. Durch d​ie Wahl d​er Hypothese enthält s​ie implizit d​en Versagensmechanismus u​nd ist d​amit ein Wert, d​er die Gefährdung d​es Bauteils u​nter der gegebenen Beanspruchung ausdrückt. Die Wahl d​er jeweiligen Vergleichspannungshypothese hängt a​lso immer v​om Festigkeitsverhalten d​es nachzuweisenden Materials s​owie vom Lastfall (statisch, schwingend, Stoß) ab.

Es g​ibt eine g​anze Anzahl v​on Hypothesen z​ur Berechnung d​er Vergleichsspannung. Sie werden i​n der Technischen Mechanik häufig u​nter dem Begriff Festigkeitshypothesen zusammengefasst. Die Anwendung hängt v​om Materialverhalten u​nd teilweise a​uch vom Anwendungsgebiet (wenn e​twa eine Norm d​ie Anwendung e​iner bestimmten Hypothese fordert) ab.

Am häufigsten w​ird im Maschinenbau u​nd im Bauwesen d​ie Gestaltänderungsenergiehypothese n​ach von Mises angewendet. Außer d​en hier genannten g​ibt es n​och weitere Hypothesen.

Gestaltänderungshypothese (von Mises)

Mithilfe der Mohrschen Spannungskreisen kann man grafisch die Mises-Vergleichspannung bestimmen[1]

Nach der Gestaltänderungshypothese, auch Gestaltänderungsenergiehypothese (kurz: GEH) oder Mises-Vergleichsspannung nach Richard von Mises genannt, tritt Versagen des Bauteils dann auf, wenn die Gestaltänderungsenergie einen Grenzwert überschreitet (s. auch Verzerrungen bzw. Deformation). Verwendet wird diese Hypothese für zähe Werkstoffe (z. B. Stahl) unter ruhender und wechselnder Beanspruchung. Die Mises-Vergleichsspannung wird im Maschinenbau und im Bauwesen am häufigsten eingesetzt -- für die meisten gängigen Materialien (nicht allzu spröde) unter normaler Belastung (wechselnd, nicht stoßartig) ist die GEH einsetzbar. Wichtige Anwendungsgebiete sind die Berechnungen von Wellen, die sowohl auf Biegung als auch auf Torsion beansprucht werden, sowie der Stahlbau. Die GEH ist so konstruiert, dass sich bei hydrostatischen Spannungszuständen (gleich große Spannungen in allen drei Raumrichtungen), eine Vergleichsspannung von Null ergibt. Denn plastisches Fließen von Metallen ist isochor und selbst extreme hydrostatische Drücke haben keinen Einfluss auf den Fließbeginn (Experimente von Bridgman).

Beschreibung i​m allgemeinen Spannungszustand:

${\displaystyle \sigma _{v,M}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}-\sigma _{x}\sigma _{y}-\sigma _{x}\sigma _{z}-\sigma _{y}\sigma _{z}+3(\tau _{xy}^{2}+\tau _{xz}^{2}+\tau _{yz}^{2})}}}$

andere Schreibweise:

${\displaystyle \sigma _{v,M}={\sqrt {{\frac {1}{2}}{\big [}{\left({\sigma _{x}-\sigma _{y}}\right)^{2}+\left({\sigma _{y}-\sigma _{z}}\right)^{2}+\left({\sigma _{z}-\sigma _{x}}\right)^{2}}+6\left({\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{xz}^{2}}\right){\big ]}}}}$

Beschreibung i​m Hauptspannungszustand:

${\displaystyle \sigma _{v,M}={\sqrt {{\frac {1}{2}}{\big [}(\sigma _{I}-\sigma _{II})^{2}+(\sigma _{II}-\sigma _{III})^{2}+(\sigma _{III}-\sigma _{I})^{2}{\big ]}}}}$

${\displaystyle \sigma _{I}}$, ${\displaystyle \sigma _{II}}$ und ${\displaystyle \sigma _{III}}$ sind die Hauptspannungen.

Beschreibung i​m ebenen Spannungszustand:

${\displaystyle \sigma _{v,M}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-\sigma _{x}\sigma _{y}+3\tau _{xy}^{2}}}}$

Beschreibung i​m ebenen Verzerrungszustand mit:

${\displaystyle \sigma _{z}=\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

${\displaystyle \sigma _{v,M}={\sqrt {(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2})(\nu ^{2}-\nu +1)+\sigma _{x}\sigma _{y}(2\nu ^{2}-2\nu -1)+3\tau _{xy}^{2}}}}$

Beschreibung i​n Invariantendarstellung:

${\displaystyle \sigma _{v,M}={\sqrt {3I_{2}^{'}}}}$

wobei ${\displaystyle I_{2}^{'}}$ die zweite Invariante des Spannungsdeviators ${\displaystyle s_{ij}}$ ist:

${\displaystyle I_{2}^{'}={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ij}}$

Die Gestaltänderungshypothese stellt einen Spezialfall des Drucker-Prager-Fließkriteriums dar, bei dem die Grenzspannungen für Druck ${\displaystyle \sigma _{c}}$ und Zug ${\displaystyle \sigma _{t}}$ gleich groß sind.[2][3]

Schubspannungshypothese (Tresca, Coulomb, Saint-Venant, Guest)

Es wird davon ausgegangen, dass für das Versagen des Werkstoffes die größte Hauptspannungsdifferenz verantwortlich ist (Bezeichnung in einigen FE-Programmen: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {int} }}$ Intensität). Diese Hauptspannungsdifferenz entspricht dem doppelten Wert der maximalen Schubspannung ${\displaystyle \tau _{\max }}$ – dadurch wird sie bei zähem Material unter statischer Belastung, welches durch Fließen (Gleitbruch) versagt, angewandt. Im Mohr’schen Spannungskreis ist die kritische Größe der Durchmesser des größten Kreises. Die Schubspannungshypothese findet aber auch im Maschinenbau ganz allgemein Anwendung, da der Formelapparat im Vergleich zur GEH einfacher zu handhaben ist und man mit ihr im Vergleich zu Von Mises (GEH) auf der sicheren Seite liegt (es kommen im Zweifelsfall etwas größere Werte für die Vergleichsspannung und damit auch etwas mehr Sicherheitsreserven heraus).

${\displaystyle \sigma _{v,T}=2\tau _{\max }}$

Räumlicher Spannungszustand:

${\displaystyle \sigma _{v,T}=\max(\vert \sigma _{I}-\sigma _{II}\vert$ ;\vert \sigma _{II}-\sigma _{III}\vert ;\vert \sigma _{III}-\sigma _{I}\vert )}

${\displaystyle \sigma _{I}}$, ${\displaystyle \sigma _{II}}$ und ${\displaystyle \sigma _{III}}$ sind die Hauptspannungen.

Ebener Spannungszustand (vorausgesetzt ${\displaystyle \sigma _{x}}$ und ${\displaystyle \sigma _{y}}$ haben unterschiedliche Vorzeichen[4]):

${\displaystyle \sigma _{v,T}={\sqrt {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}+4\tau _{xy}^{2}}}}$

Hauptnormalspannungshypothese (Rankine)

Es w​ird davon ausgegangen, d​ass das Bauteil aufgrund d​er größten Normalspannung versagt. Im Mohr'schen Spannungskreis i​st der kritische Punkt d​ie maximale Hauptspannung. Die Hypothese w​ird angewendet für Werkstoffe, welche m​it Trennbruch, o​hne Fließen, versagen:

• spröde Werkstoffe (z. B. Grauguss oder Schweißnähte) bei vorwiegend ruhender Zugbeanspruchung
• spröde und zähe Materialien bei stoßartiger Belastung.

Räumlicher Spannungszustand:

${\displaystyle \sigma _{v,R}=\sigma _{I}}$

für

${\displaystyle \sigma _{I}\geq 0\quad \&\quad \sigma _{I}\geq \vert \sigma _{III}\vert }$

ansonsten

${\displaystyle \sigma _{v,R}=\vert \sigma _{III}\vert =-\sigma _{III}}$

für

${\displaystyle \sigma _{III}<0}$

Ebener Spannungszustand:

${\displaystyle \sigma _{v,R}={\frac {(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\sqrt {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}+4\tau _{xy}^{2}}}}{2}}}$

Quadratisches rotationssymmetrisches Kriterium (Burzyński-Yagn)

Mit d​em Ansatz[5]

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}},\qquad \gamma _{1}\in {[0,1[}}$

folgen d​ie Kriterien:

- Konus von Drucker-Prager (Mirolyubov) mit ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in {]0,1[}}$,

- Paraboloid von Balandin (Burzyński-Torre) mit ${\displaystyle \gamma _{1}\in {]0,1[},\gamma _{2}=0}$,

- Ellipsoid von Beltrami mit ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in {]0,1[}}$,

- Ellipsoid von Schleicher mit ${\displaystyle \gamma _{1}\in {]0,1[},\gamma _{2}<0}$,

- Hyperboloid von Burzyński-Yagn mit ${\displaystyle \gamma _{1}\in {]0,1[},\gamma _{2}\in {]0,\gamma _{1}[}}$,

- einschaliges Hyperboloid.

Die quadratischen Kriterien lassen sich explizit nach ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$ auflösen, was ihren praktischen Einsatz förderte.

Die Querkontraktionszahl b​ei Zug lässt s​ich mit

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {pl} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

berechnen. Die Anwendung v​on rotationssymmetrischen Kriterien für sprödes Versagen

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {pl} }\in {]-1,\nu _{+}^{\mathrm {el} }]}}$

wurde n​icht genügend untersucht.[6]

Kombiniertes rotationssymmetrisches Kriterium (Huber)

Das Kriterium v​on Huber[7] besteht a​us dem Ellipsoid v​on Beltrami

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{eq}-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{eq}+\gamma _{1}I_{1}}{1+\gamma _{1}}}}$ für ${\displaystyle I_{1}>0}$

und einem zu ihm im Schnitt ${\displaystyle I_{1}=0}$ gekoppelten Zylinder

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{eq}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{eq}}{1+\gamma _{1}}}}$ für ${\displaystyle I_{1}\leq 0}$

mit dem Parameter ${\displaystyle \gamma _{1}\in {[0,1[}}$.

Der Übergang im Schnitt ${\displaystyle I_{1}=0}$ ist stetig-differenzierbar. Die Querkontraktionszahlen bei Zug und Druck ergeben sich zu

${\displaystyle \nu _{+}^{pl}={\frac {1}{2}}(1-3\gamma _{1}^{2})}$

${\displaystyle \nu _{-}^{pl}={\frac {1}{2}}}$

Das Kriterium wurde 1904 entwickelt. Es setzte sich jedoch zunächst nicht durch, da es von mehreren Wissenschaftler[8] als unstetiges Modell verstanden wurde.

Unified Strength Theory (Mao-Hong Yu)

Die Unified Strength Theory (UST)[9] besteht aus zwei sechseckigen Pyramiden von Sayir,[10] die um 60° gegeneinander gedreht sind:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {I} }-{\frac {\alpha }{1+b}}(b\sigma _{\mathrm {II} }+\sigma _{\mathrm {III} })-\sigma _{\mathrm {eq} }=0}$

${\displaystyle \alpha \sigma _{\mathrm {I} }-{\frac {1}{1+b}}(b\sigma _{\mathrm {II} }+\sigma _{\mathrm {III} })+\sigma _{\mathrm {eq} }=0}$

mit ${\displaystyle \alpha ={\frac {\sigma _{+}}{\sigma _{-}}}\in [0,1]}$ und ${\displaystyle b={\frac {\tau \,(\sigma _{+}+\sigma _{-})-\sigma _{+}\sigma _{-}}{\sigma _{-}\,(\sigma _{+}-\tau )}}\in [0,1]}$.

Mit ${\displaystyle b=0}$ ergibt sich das Kriterium von Mohr-Coulomb (Single-Shear Theorie von Yu), mit ${\displaystyle b=({\sqrt {3}}-1)/2\approx 0{,}3660}$ das Pisarenko-Lebedev Kriterium und mit ${\displaystyle b=1}$ folgt die Twin-Shear Theorie von Yu (vgl. Pyramide von Haythornthwaite).

Die Querkontraktionszahlen b​eim Zug u​nd beim Druck folgen als

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {pl} }={\frac {\alpha }{2}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {pl} }={\frac {1}{2\alpha }}}$

Cosinus-Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)

Oft werden d​ie Festigkeitshypothesen u​nter Verwendung d​es Spannungswinkels

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

formuliert. Mehrere Kriterien isotropen Materialverhaltens werden im Ansatz

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

zusammengefasst.

Die Parameter ${\displaystyle c_{3}}$ und ${\displaystyle c_{6}}$ beschreiben die Geometrie der Fläche in der ${\displaystyle \pi }$-Ebene. Sie müssen die Bedingungen

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}}}$

erfüllen, welche s​ich aus d​er Konvexitätsanforderung ergeben. In[11] w​ird eine Verbesserung d​er dritten Bedingung vorgeschlagen.

Die Parameter ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}}$ beschreiben die Lage der Schnittpunkte der Fließfläche mit der hydrostatischen Achse (Raumdiagonale im Hauptspannungsraum). Diese Schnittpunkte werden hydrostatische Knoten genannt. Für die Materialien, die unter der gleichmäßigen 3D-Druckbelastung nicht versagen (Stahl, Messing usw.), ergibt sich ${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\gamma _{1}[}$. Für die Materialien, die unter dem gleichmäßigen 3D-Druck versagen (harte Schäume, Keramiken, gesinterte Materialien), gilt ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$.

Die ganzzahligen Potenzen ${\displaystyle l\geq 0}$ und ${\displaystyle m\geq 0}$, ${\displaystyle l+m<6}$ beschreiben die Krümmung des Meridians. Der Meridian ist mit ${\displaystyle l=m=0}$ eine Gerade und mit ${\displaystyle l=0}$ eine Parabel.

Literatur

• J. Sauter, N. Wingerter: Neue und alte Festigkeitshypothesen. (= VDI-Fortschrittsberichte. Reihe 1. Band 191). VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-149101-2.

• S. Sähn, H. Göldner: Bruch- und Beurteilungskriterien in der Festigkeitslehre. 2. Auflage. Fachbuchverlag, Leipzig 1993, ISBN 3-343-00854-0.

• H. Mertens: Zur Formulierung von Festigkeitshypothesen für mehrachsige phasenverschobene Schwingbeanspruchungen. In: Z. angew. Math. und Mech. Band 70, Nr. 4, 1990, S. T327–T329.

Einzelnachweise

1. Christian Hellmich und weitere: Skriptum zur Übung aus Festigkeitslehre. In: Festigkeitslehreskriptum für Bauingenieure. Band 2017/18, Nr. 202.665. Institut der Mechanik für Werkstoffe und Strukturen, TU Wien; Wien, Januar 2018 (tuwien.ac.at).
2. Frank Faulstich: Drucker-Prager-Vergleichsspannung. Abgerufen am 2. April 2020.
3. Vorlesung zu Plasizität der Uni Siegen. Universität Siegen, abgerufen am 2. April 2020.
4. L. Issler, H. Ruoß, P. Häfele: Festigkeitslehre - Grundlagen. Springer, Berlin/ Heidelberg 2003, ISBN 3-540-40705-7, S. 178.
5. W. Burzyński: Über die Anstrengungshypothesen. In: Schweizerische Bauzeitung. Band 94, Nr. 21, 1929, S. 259–262.
6. N. M. Beljaev: Strength of materials. Mir Publ., Moscow 1979.
7. M. T. Huber: Die spezifische Formänderungsarbeit als Maß der Anstrengung. Czasopismo Techniczne, Lwow 1904.
8. H. Ismar, O. Mahrenholz: Technische Plastomechanik. Vieweg, Braunschweig 1979.
9. M.-H. Yu: Unified Strength Theory and its Applications. Springer, Berlin 2004.
10. M. Sayir: Zur Fließbedingung der Plastizitätstheorie. In: Ing. Arch. 39, 1970, S. 414–432.
11. H. Altenbach, A. Bolchoun, V. A. Kolupaev: Phenomenological Yield and Failure Criteria. In: H. Altenbach, A. Öchsner (Hrsg.): Plasticity of Pressure-Sensitive Materials. (= Serie ASM). Springer, Heidelberg 2013, S. 49–152.

Weblinks

• vergleichsspannung.de, Formeln, Hintergründe und Berechnungstools