Unum (Zahlenformat)

Universal numbers, k​urz Unum,[1] s​ind ein Gleitkommazahlen-Format, d​as von John L. Gustafson, bekannt d​urch Gustafsons Gesetz, a​ls Alternative z​u den vorherrschenden IEEE-754-Gleitkommazahlen entwickelt wurde. Die e​rste Version v​on Unums w​ird retrospektiv a​ls Typ I bezeichnet, a​ls danach Typ II u​nd später Typ III veröffentlicht wurden.

“Some people a​re surprised t​hat π c​an be represented a​s an e​xact number, b​ut of course i​t can, w​hich is o​ne reason f​or the t​erm ‘universal number.’”

„Einige überrascht es, d​ass π e​xakt dargestellt werden kann, a​ber natürlich g​eht das, u​nd es i​st einer d​er Gründe für d​en Begriff universal number.“

– John L. Gustafson: A Radical Approach to Computation with Real Numbers[2]

Zahlen, die zu einer anderen Basis als 10 dargestellt werden, insbesondere binär, werden mit der Basis dahinter tiefgestellt notiert; die Basis selbst wird immer dezimal notiert. So ist ${\displaystyle 1011_{2}=11_{10}=11}$. Der Index 2 entfällt, wenn von Bitmustern o. Ä. die Rede ist, also nicht der numerische Wert im Vordergrund steht. Bitmuster werden in Schreibmaschinenschrift dargestellt, sofern technisch möglich.

Der wesentlichste interne Unterschied zu IEEE-754-Gleitkommazahlen ist das variable Format. Während durch den IEEE-754-Standard – lediglich abhängig von der Bit-Zahl – eine feste Anzahl von Exponenten- und Mantissen-Bits vorgeschrieben ist, sind diese bei Unums variabel. Allen Unum-Formaten ist gemein, dass arithmetische Über- und Unterläufe nicht zu Unendlichkeiten degenerieren, sondern bei dem betragskleinsten bzw. -größten Intervallen bzw. Zahlen verbleiben. Laut Gustafson ist der numerische Fehler beim Abgleiten von endlichen Ergebnissen ins Unendliche unendlich, wohingegen das Zuweisen eines endlichen Werts möglicherweise ein großer, jedoch endlicher Fehler ist.

Zahlenmodell

Darstellung der projektiven Geraden als Kreis mit ${\displaystyle 0}$ unten, ${\displaystyle \infty }$ oben, ${\displaystyle -1}$ links und ${\displaystyle +1}$ rechts

Das mathematische Zahlenmodell hinter Typ-II- und Typ-III-Unums ist die projektive Gerade, also die reellen Zahlen zusammen mit einem unendlich fernen Punkt ${\displaystyle \infty }$, der durch Zahlen mit großem Betrag erreicht wird, egal ob negativ oder positiv. Wie ${\displaystyle 0}$ ist ${\displaystyle \infty }$ ohne Vorzeichen und wird von der negativen und der positiven Seite gleichermaßen erreicht. In der Praxis von Gleitkommazahlen sind ${\displaystyle 0}$, unendliche und undefinierte Werte grundsätzlich Spezialfälle; gewisse Metriken, die beispielsweise relative Genauigkeit angeben, sind darauf nicht sinnvoll anwendbar. Bei Unums wird ${\displaystyle \infty }$ für undefinierte Werte verwendet. Operationen auf endlichen Zahlen, die mathematisch wohldefiniert sind, produzieren nie ${\displaystyle \infty }$ als Ergebnis. Somit entspricht ${\displaystyle \infty }$ mehr einem quiet NaN aus IEEE 754 als dessen unendlichen Werten. Wird beispielsweise durch die Addition zweier großer Zahlen der Wertebereich nach oben verlassen, runden IEEE-754-Gleitkommazahlen zu ${\displaystyle +\infty }$; in Typ-I- und Typ-II-Unums ist das Ergebnis dann ein Objekt, das das offene Intervall zwischen der größten exakt darstellbaren Zahl und ${\displaystyle +\infty }$ beschreibt. Typ-III-Unums stellen keine Intervalle dar, sie verbleiben dann bei dem größten endlichen Wert.

Das Zahlenmodell hinter Typ-I-Unums und IEEE 754 ist hingegen die abgeschlossene reelle Gerade, also die reellen Zahlen zusammen mit separaten Werten für ${\displaystyle -\infty }$ und ${\displaystyle +\infty }$. Dazu gesellen sich außerdem undefinierte Werte, auch NaN für engl. not a number genannt. Ferner unterscheidet IEEE 754 die Zahlen ${\displaystyle +0}$ und ${\displaystyle -0}$.

Grundsätzlich gibt es für jedes Unum ${\displaystyle x}$ ein eindeutiges, genau dargestelltes Negatives ${\displaystyle -x}$ und bei Typ-II-Unums einen eindeutigen, genau dargestellten Kehrwert ${\displaystyle x^{-1}}$, wohingegen ein solcher Kehrwert für Typ-III-Unums nur für ${\displaystyle 0,\infty }$ und Zweierpotenzen garantiert ist.[3] In der üblichen Darstellung der projektiven Geraden (s. Bild) entspricht die Negation der Spiegelung an der vertikalen und die Kehrwertbildung an der horizontalen Achse; insbesondere gilt ${\displaystyle 0^{-1}=\infty }$ und ${\displaystyle \infty ^{-1}=0}$.

Typ I

Die erste Format von Unums, im Nachhinein Typ I genannt, war als Erweiterung der IEEE-754-Gleitkommazahlen konzipiert. Es verwendet in seiner Darstellung ein ubit (u für engl. unprecise, unpräzise) am Ende, das angibt, ob die Zahl präzise ${\displaystyle ubit=0}$ oder ein offenes Intervall zwischen nebeneinanderliegenden Gleitkommazahlen ist (${\displaystyle ubit=1}$). Das Layout ist dasselbe wie bei IEEE-754-Gleitkommazahlen, jedoch variiert die Anzahl der Exponenten- und Mantissenbits automatisch bzw. sind beide frei wählbar. Typ-I-Unums sind eine einfache Lösung für Intervallarithmetik.

Gustafson entwickelte Typ-II-Unums a​us der Erfahrung, d​ass die IEEE-754-Kompatibilität w​enig Nutzen bringt, a​ber viel Aufwand verursacht, d​er Teil m​it Intervallarithmetik s​ich hingegen effizient umsetzen ließ.

Typ II

Die zweite Version v​on Unums verwirft d​ie Kompatibilität z​u IEEE-754-Gleitkommazahlen zugunsten großer Flexibilität. Die Haupterkenntnis war, d​ass sich vorzeichenbehaftete ganze Zahlen g​ut auf d​ie projektive Gerade abbilden lassen, w​obei der Überlauf bewusst i​n Kauf genommen wird, dafür d​ie Ordnungsrelation erhalten bleibt. Insbesondere h​at bei vorzeichenbehafteten Ganzzahlformaten m​it Zweierkomplement-Darstellung v​on negativen Zahlen d​ie kleinste negative Zahl (die m​it maximalem Betrag) d​ie Eigenschaft, i​hr eigenes Negatives z​u sein. Als Ganzzahl i​st dieser Randfall gelegentlich e​in Hindernis, für d​en unendlich fernen Punkt i​n der projektiven Geraden i​st diese Eigenschaft hingegen natürlich u​nd wünschenswert.

Wie Typ-I-Unums interpretieren Typ-II-Unums d​as letzte Bit i​n der Darstellung a​ls ubit, d​as ein offenes Intervall zwischen exakten Zahlen repräsentiert. Diese Intervalle können a​m Ende d​er Berechnung kollabiert werden, e​twa auf i​hren arithmetischen o​der geometrischen Mittelpunkt.

Für ein n-Bit-Typ-II-Unum-Format werden ${\displaystyle 2^{n-3}-1}$ reelle, nicht notwendigerweise rationale, Zahlen größer als ${\displaystyle 1}$ ausgewählt und im ersten Quadranten auf der projektiven Geraden angesiedelt. Die anderen Quadranten ergeben sich durch Negativen- und Kehrwertbildung. Ein n-Bit-Wort hat ${\displaystyle 2^{n}}$ Zustände, davon wird die Hälfte von Intervallen belegt und drei beliebige der vier Quadranten ergeben sich aus dem jeweils vierten. Da ${\displaystyle 1}$ als Wahl fest vergeben wird, gibt es eine Option weniger als ${\displaystyle 2^{n-3}}$.

Ein Beispiel für ein dezimales 8-Bit-Format: Gewünscht wird die exakte Darstellung der ${\displaystyle 31}$ Zahlen ${\displaystyle 10^{100}}$, ${\displaystyle 10^{50}}$, ${\displaystyle 10^{20}}$, ${\displaystyle 10^{10}}$, ${\displaystyle 10^{6}}$, ${\displaystyle 10^{4}}$, ${\displaystyle 1000}$, ${\displaystyle 500}$, ${\displaystyle 200}$, ${\displaystyle 100}$, ${\displaystyle 80}$, ${\displaystyle 50}$, ${\displaystyle 40}$, ${\displaystyle 25}$, ${\displaystyle 20}$, ${\displaystyle 12{,}5}$, ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 7}$, ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 0{,}3^{-1}}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 2{,}5}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 0{,}6^{-1}}$, ${\displaystyle 0{,}7^{-1}}$, ${\displaystyle 1{,}25}$, ${\displaystyle 0{,}9^{-1}}$. Die als Inverse angegebenen Zahlen sind Wünsche für den vierten Quadranten, auf eine Weise ausgedrückt, auf die sie ins Schema passen.

Die Operationen für Typ-II-Unums lassen s​ich im Allgemeinen n​ur durch e​ine Wertetabelle implementieren, w​as sie für Bitzahlen größer a​ls ca. 20 behäbig macht, d​a Wertetabellen für zweistellige Operationen quadratisch anwachsen.

Gustafson entwickelte Typ-III-Unums, d​a sich Typ-II-Unums a​ls schwerfällig für verschmolzene (engl. fused) Operationen w​ie Fused multiply-add herausstellten. Das Ziel v​on Typ-III-Unums i​st also, d​ie Vorteile v​on Typ-II-Unums software- u​nd hardware-freundlich umzusetzen.

SoRNs

Da die Formate vom Typ I und II die Zahlenbereiche flexibel und anwendungsspezifisch zulassen, reichen oft geringe Bitlängen aus. Im Fall von 8 Bit kann bereits ein 256-Bit-Wort eine beliebige Vereinigung von Intervallen darstellen (da 2⁸ = 256, siehe Kardinalität der Potenzmenge). In diesem Kontext werden die exakten Zahlen als Einermenge mit ebendieser Zahl und ${\displaystyle \infty }$ als die Paarmenge ${\displaystyle \{-\infty ,+\infty \}}$ gesehen, aber der Einfachheit wegen auch als Intervall bezeichnet. Ein so interpretiertes Wort heißt SoRN für engl. Set of Real Numbers, zu deutsch (Teil-)Menge der reellen Zahlen. Dabei gibt das ${\displaystyle i}$‑te Bit an, ob das Intervall mit der Darstellung ${\displaystyle i}$ eine Teilmenge der SoRN ist. Als Ergebnis einer Operation bedeutet ein SoRN, dass die mathematisch exakte Lösung darin enthalten ist. Eine korrekte Implementierung vorausgesetzt, ist die Aussage im mathematischen Sinn wahr und keine Approximation mit unbekannten Fehlerschranken.

Die Angabe von SoRNs ist üblicherweise als Intervall oder als Vereinigung von Intervallen, falls Lücken bestehen. Dabei wird hier der Deutlichkeit wegen in der unteren Grenze ${\displaystyle -\infty }$ und in der oberen Grenze ${\displaystyle +\infty }$ geschrieben. Insbesondere stellt das Intervall ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ die Menge der reellen Zahlen dar. Als offenes Intervall ist ansonsten ${\displaystyle (a,a)}$ die leere Menge.

Im Vergleich zu Intervallarithmetik sind SoRNs auch dann gutartig, wenn sonst Stellenauslöschung oder durch unerkannte Abhängigkeiten jeder Iterationsschritt zu einem exponentiellen Genauigkeitsverlust führt. Wenn nicht gerade mit einem einelementigen Intervall begonnen wird, divergiert beispielsweise jede Folge von Intervallen nach traditioneller Intervallarithmetik, die durch wiederholte Anwendung der Operationen ${\displaystyle x-x}$ oder ${\displaystyle x/x}$ entsteht (das heißt, die Intervalle werden immer größer und damit als Abschätzung unbrauchbar), wohingegen die von SoRNs beschriebenen Intervalle stetig kleiner werden und das Ergebnis festnageln.[2]

Arithmetik

Auf SoRNs lässt sich die Arithmetik der Unums fortsetzen: Sind ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ zwei SoRNs, so ist ${\displaystyle U+V}$ das SoRN, das aus den Unums ${\displaystyle u+v}$ mit ${\displaystyle u}$ aus ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle v}$ aus ${\displaystyle V}$ besteht. Analog wird Multiplikation definiert; Subtraktion und Division ergibt sich als ${\displaystyle U-V}$ gemäß ${\displaystyle U+(-V)}$ und entsprechend ${\displaystyle U/V}$ gemäß ${\displaystyle U\cdot V^{-1}}$. Die einstelligen Operationen ${\displaystyle -V}$ und ${\displaystyle V^{-1}}$ werden auf die Einzelelemente angewendet.

Mit SoRNs sind auch Operationen möglich, deren Ergebnis auch im mathematischen Sinn nicht immer eine einzelne Zahl ist. Beispielsweise ist die Quadratwurzel-Funktion für negative Eingaben undefiniert. Als Operation auf SoRNs liefert ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ entsprechend das leere SoRN. Grundsätzlich ist es zwar möglich, auf jede undefinierte Operation das leere Ergebnis zu liefern, aber in gewisser Hinsicht sind andere Ergebnisse oft besser. Beispielsweise ist ${\displaystyle a/b}$ die Antwort auf Frage: Welche Zahl ${\displaystyle x}$ löst die Gleichung ${\displaystyle a=b\cdot x}$? Für ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=0}$ ist diese Antwort: jede Zahl. Daher ergibt ${\displaystyle 0/0}$ das volle SoRN. Dasselbe gilt für ${\displaystyle \infty +\infty }$ und ${\displaystyle \infty -\infty }$ (was dasselbe sein muss, da ${\displaystyle +\infty =-\infty }$). Ein Beispiel für eine undefinierte Operation, die weder das leere noch das volle SoRN liefert, ist ${\displaystyle 1^{\infty }}$ mit der Lösungsmenge ${\displaystyle \lbrack 0,\infty \rbrack }$, also einem SoRN, das ${\displaystyle \lbrace \pm \infty \rbrace }$, ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ und alle positiven Intervalle umfasst.

Beispielsweise gegeben das SoRN ${\displaystyle (0,+\infty )}$. Der Logarithmus davon (egal zu welcher Basis) ergibt ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$. Das Quadrat von diesem Ergebnis ist ${\displaystyle \lbrack 0,+\infty )}$.

Ein weiteres Beispiel sei die Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{{\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{2}}}}}$.[2] Was ist ${\displaystyle f(0)}$? Eine Rechnung mit Unums ergibt ${\displaystyle {\tfrac {1}{{\tfrac {1}{0}}+{\tfrac {1}{2}}}}={\tfrac {1}{\infty +{\tfrac {1}{2}}}}={\tfrac {1}{\infty }}=0}$. Nun ist es so, dass auch ${\displaystyle f(x)={\tfrac {2x}{2+x}}}$ ist, wodurch die Definitionslücke bei 0 verschwindet, und das Ergebnis bestätigt. Doch was, wenn die Eingabe nicht genau bekannt war, sondern als das SoRN ${\displaystyle (-1,2\rbrack }$ gegeben wird? Wird die erste Darstellung von ${\displaystyle f}$ verwendet, liefern die Operationen auf 4-Bit-Unums exakte Ergebnisse und das Ergebnis-SoRN repräsentiert die Aussage ${\displaystyle -2<f(x)\leq 1}$. Für den zweiten Ausdruck mit traditioneller Intervallarithmetik wird zuerst das Eingabeintervall ${\displaystyle (-1,2\rbrack }$ zu ${\displaystyle \lbrack -1,2\rbrack }$ abgeschlossen (da traditionelle Intervallarithmetik nur mit abgeschlossenen Intervallen arbeitet). Das Ergebnis ist dann ernüchternd: ${\displaystyle \lbrack -2,4\rbrack }$. In der zweiten Darstellung kommt ${\displaystyle x}$ zweimal vor; dass es sich dabei zweimal um derselben Wert (innerhalb der Grenzen) handeln muss und nicht um zwei unabhängige Werte mit denselben Grenzen, wird aber beim mechanischen Auswerten nicht berücksichtigt.

Lauflängen-Kodierung

Ein SoRN gilt als zusammenhängend, wenn in seiner Darstellung alle Einsen gepackt nebeneinander stehen (schließt das leere SoRN mit ein). Weil ${\displaystyle \infty }$ an beiden Enden des Zahlenstrahls liegt, aber nur einmal im SoRN kodiert wird, ist das SoRN ${\displaystyle [-\infty ,0]\cup [1,+\infty ]}$ im mathematischen Sinn zwar nicht zusammenhängend (genauer: im Sinne der projektiven Geraden ist die Menge schon zusammenhängend, aber nicht im Sinne eines Zahlenstrahls mit Endpunkten), wohl aber das SoRN, das es darstellt. Die arithmetischen Grundoperationen und viele andere wie die Wurzel erhalten zusammenhängende SoRNs, das heißt, für zusammenhängende SoRNs als Eingaben liefern sie zusammenhängende SoRNs als Ergebnis. Daher bietet sich eine sogenannte Lauflängen-Kodierung (engl. run-length encoding) an. Statt mit beliebigen SoRNs werden damit nur zusammenhängende dargestellt. Die Lauflängen-Kodierung speichert den Beginn und die Länge der Einser-Kolonne. Für 256 Stellen genügen 8 Bit für je den Beginn und die Länge, somit benötigt die Lauflängen-Kodierung insgesamt 16 Bit. Nur das volle SoRN ist zusammenhängend, kann aber streng genommen nicht so dargestellt werden, da seine Länge (256 Einsen) gerade das Maximum (255) in der Längendarstellung überschreitet. Dem kann abgeholfen werden, da für das leere SoRN formal mehrere Darstellungen existieren, nämlich alle mit Länge 0. Davon wird eine für das volle SoRN umgedeutet.

Insbesondere i​st eine Lauflängen-Kodierung für SoRNs effektiver, j​e höher d​ie Anzahl d​er Bits ist. Für 16-Bit-Unums wäre e​in allgemeines SoRN 65.536 Bit breit, a​lso knapp 8 KiB groß. Die Lauflängen-Kodierung benötigt n​ur 32 Bit.

Beispiel

Für das Beispiel wird ein 4-Bit-Typ-II-Unum verwendet, wobei die einzige wählbare Zahl 2 ist. Es gibt die 16 Intervalle ${\displaystyle \lbrace \pm \infty \rbrace }$, ${\displaystyle (-\infty ,-2)}$, ${\displaystyle \lbrace -2\rbrace }$, ${\displaystyle (-2,-1)}$, ${\displaystyle \lbrace -1\rbrace }$, ${\displaystyle (-1,-{\tfrac {1}{2}})}$, ${\displaystyle \lbrace -{\tfrac {1}{2}}\rbrace }$, ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},0)}$, ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$, ${\displaystyle (0,+{\tfrac {1}{2}})}$, ${\displaystyle \lbrace +{\tfrac {1}{2}}\rbrace }$, ${\displaystyle (+{\tfrac {1}{2}},+1)}$, ${\displaystyle \lbrace +1\rbrace }$, ${\displaystyle (+1,+2)}$, ${\displaystyle \lbrace +2\rbrace }$ und ${\displaystyle (+2,+\infty )}$. Ein Teilmengen-Wort besteht damit aus ${\displaystyle 2^{4}=16}$ Bit.

Allgemein braucht es die Lauflängen-Kodierung von ${\displaystyle 2^{n}}$ Bit genau ${\displaystyle 2n}$ Bits.

Typ III

Das System d​er Typ-III-Unums w​ird auch a​ls Posits a​nd Valids bezeichnet. Das englische Wort posit bedeutet Postulat. Die Posits s​ind die eigentlichen Zahlen, m​it denen gerechnet wird; d​ie Valids definieren Intervalle m​it Grenzen v​on Posits gleichen Formats. Der primäre Zweck v​on Valids i​st Fehlerabschätzung, d​ie sich d​urch die h​ohe Fehlertoleranz d​er Posit-Grenzen o​ft in brauchbaren Rahmen bewegt. Der große Vorteil v​on Intervallarithmetik i​st (typischerweise), d​ass das w​ahre Ergebnis garantiert innerhalb d​er Intervallgrenzen liegt. Intervallarithmetik läuft d​aher immer Gefahr, d​ass die untere u​nd obere Intervallgrenze s​o weit auseinander liegen, d​ass die Aussage z​war richtig ist, d​as Ergebnis a​ber praktisch k​eine Aussagekraft m​ehr besitzt.

IEEE-Gleitkommazahlen erlauben b​ei der Auswertung d​er vom Standard vorgeschriebenen transzendenten Funktionen Fehler, d​ie über d​en Rundungsfehler hinausgehen, hauptsächlich d​amit die Wertetabellen i​n der Hardware n​icht zu groß werden. Solche Zugeständnisse machen Posits nicht.[3] Im Gegenteil: Implementierungen v​on Typ-III-Unums müssen e​ine Skalarprodukt-Operation (auch Fused dot-product genannt) anbieten, d​eren Ergebnis präzise a​uf das letzte Bit berechnet wird. Die Operationen Fused multiply-add u​nd Fused sum s​ind Spezialfälle d​es Skalarprodukts. (Präzise heißt innerhalb d​er Rundungsgenauigkeit.) Das Skalarprodukt i​st außerdem n​icht in d​er Länge beschränkt; Implementierungen müssen m​it jeder Anzahl v​on Summanden rechnen. Dazu w​ird ein Puffer verwendet, Quire genannt. Geeignete Quire-Größen s​ind in e​iner Tabelle unten aufgelistet.

Die Posits bestehen a​us einem Vorzeichen-Bit (engl. sign), e​iner variablen Anzahl v​on Regime-Bits, d​ie über g​robe Größenordnung entscheiden (und z​u denen k​ein IEEE-754-Äquivalent existiert), Exponenten-Bits u​nd Mantissen-Bits.

Die Anzahl der Regime-, Exponenten- und der Mantissen-Bits variiert.[3] Bestimmungsgrößen eines Unum-Formats sind seine Gesamtbits (in der Praxis meist eine Zweierpotenz) und seine maximalen Exponentenbits ${\displaystyle E_{\text{max}}}$. Ein ${\displaystyle n}$‑Bit-Unum erlaubt nach Abzug des Vorzeichenbits für einen konkreten Posit zwischen ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle n-1}$ Regime-Bits. Aufgrund der Konstruktion muss die Anzahl der Regime-Bits mindestens ${\displaystyle 2}$ betragen (zur Konstruktion s. unten). Nimmt das Regime mehr Bits ein, als gemäß Gesamtbits minus ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ verbleiben, ist die Anzahl der Exponentenbits nachrangig, entsprechend reduziert und kleiner als ${\displaystyle E_{\text{max}}}$. Die ggf. übrigen Bits entfallen auf die Mantisse.

In der Anwendung kann der unendlich ferne Punkt ${\displaystyle \infty }$ durch ${\displaystyle \mathrm {NaR} }$ ersetzt werden, was für keine reelle Zahl steht (englisch not a real number). Alle Operationen auf ${\displaystyle \mathrm {NaR} }$ ergeben wieder ${\displaystyle \mathrm {NaR} }$, insbesondere ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {NaR} }}=\mathrm {NaR} }$, wohingegen ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}=0}$ ist. Als Grund für die Abweichung von keine Zahl (englisch not a number, kurz NaN) nennt Gustafson, dass es sich bei einigen Ergebnissen wie ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ um (komplexe) Zahlen handelt.[4]

Beispielformat

Gegeben das Format mit ${\displaystyle 16}$ Bits und ${\displaystyle E_{\text{max}}=2}$. Hat ein solches Posit ${\displaystyle 4}$ Regime-Bits, ergibt sich die Verteilung 1 : 4 : 2 : 9 auf Vorzeichen, Regime, Exponent und Mantisse. Hat es 12 Regime-Bits ist die Verteilung 1 : 12 : 2 : 1 und bei 14 Regime-Bits 1 : 14 : 1 : 0.

Kennzahlen

Aus der Anzahl der Gesamtbits und der maximalen Exponentenbits ergibt sich die Kennzahl des ${\displaystyle useed}$ (u für Unum und engl. seed für Samen oder Keim) als ${\displaystyle useed=2^{E_{\text{max}}}}$. Für ein Unum-Format mit bis zu ${\displaystyle 2}$ Exponentenbits beträgt ${\displaystyle useed=2^{2^{2}}=2^{4}=16}$. Bei bis zu 3 Exponentenbits beträgt das ${\displaystyle useed=265}$ und bei ${\displaystyle 4}$ schon ${\displaystyle useed=65536}$.

Im Unterschied z​u IEEE 754 h​aben Unums keinen Exponenten-Bias o​der eine vergleichbare Größe.

Menge der Zahlen

Da die negativen Zahlen und die Bitmuster ihrer Darstellungen aus den positiven hervorgehen, müssen nur letztere beschrieben werden. Die Menge der ${\displaystyle n}$‑Bit-Unums wird iterativ erzeugt, wobei ${\displaystyle n\geq 3}$ sein muss. Ausgehend vom einfachsten Format bestehend aus ${\displaystyle 3}$-Bit-Unums, die jeweils nur aus Vorzeichen (1 Bit) und Regime (min. ${\displaystyle 2}$ Bit, s. unten für eine Begründung), wird das Format für ${\displaystyle n+1}$ Bits durch Anfügen eines Bits an das Format mit ${\displaystyle n}$ Bits definiert. Mit ${\displaystyle max}$ wird die größte positive und mit ${\displaystyle min}$ die kleinste positive Zahl im aktuellen Format bezeichnet. Zwar gilt ${\displaystyle min\approx max^{-1}}$, die Gleichheit gilt jedoch nur, falls es Zweierpotenzen sind.

Die Menge der ${\displaystyle 3}$-Bit-Unums besteht aus ${\displaystyle 8}$ Elementen: ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle +1}$ sind fest vorgegeben; dazu kommt das von der maximalen Anzahl ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ von Exponentenbits abhängige ${\displaystyle useed}$, zusammen mit ${\displaystyle -useed}$, ${\displaystyle useed^{-1}}$ und ${\displaystyle -useed^{-1}}$. (Dabei ist ${\displaystyle E_{\text{max}}\geq 0}$ frei wählbar.) Auch wenn keine Darstellung im ${\displaystyle 3}$‑Bit-Format Exponentenbits nutzt, weil die Regime-Bits „immer alles auffressen“, wird ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ festgelegt, da der Wert von ${\displaystyle useed}$ davon abhängt. Bei der iterativen Darstellung der Zahlenmenge bleibt ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ gleich, nur die Bitanzahl wird erhöht. Das ${\displaystyle 3}$‑Bit-Unum ist lediglich der Startpunkt der Konstruktion. Im ${\displaystyle 3}$‑Bit-Format ist ${\displaystyle max=useed}$.

Für den Schritt vom ${\displaystyle n}$‑Bit-Unum zum ${\displaystyle (n+1)}$‑Bit-Unum wird an jede Darstellung ein Bit angefügt. Ist dieses Bit 0, bleibt der repräsentierte Wert derselbe, unabhängig ob das Bit dem Regime, dem Exponenten oder der Mantisse zufällt. Ist das Bit 1, so stellt das Bitmuster eine neue Zahl dar, die zwischen den beiden Zahlen liegt, deren Darstellungen, interpretiert als ganze Zahl, je um ${\displaystyle 1}$ größer und kleiner sind:

• Zwischen ${\displaystyle max}$ und ${\displaystyle \infty }$ wird ${\displaystyle max\cdot useed}$ eingefügt und entsprechend ${\displaystyle max/useed}$ zwischen ${\displaystyle min}$ und ${\displaystyle 0}$. Das hinzugefügte Bit wird Teil des Regimes.
• Zwischen ${\displaystyle 2^{m}}$ und ${\displaystyle 2^{n}}$, wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ mehr als ${\displaystyle 1}$ auseinanderliegen, wird das geometrische Mittel von ${\displaystyle 2^{m}}$ und ${\displaystyle 2^{n}}$ eingefügt: ${\displaystyle 2^{(m+n)/2}}$. Das hinzugefügte Bit wird Teil des Exponenten.
• Andernfalls wird zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ihr arithmetisches Mittel ${\displaystyle {\tfrac {x+y}{2}}}$ hinzugefügt. Das hinzugefügte Bit wird Teil der Mantisse.

Der erste Punkt fügt viele exponentiell auseinanderliegende Zahlen an den extremen Rändern hinzu. In einem gewissen Sinne approximieren sie ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \infty }$ damit gut. Der letzte Punkt fügt viele linear auseinanderliegende Zahlen um ${\displaystyle 1}$ ein. Exponentiell bzw. linear auseinanderliegend bedeutet: Sind ${\displaystyle x<y<z}$ aufeinanderfolgend, so ist im ersten Fall ${\displaystyle z=y\cdot {\tfrac {y}{x}}}$ und im zweiten Fall ${\displaystyle z=y+(y-x)}$. Konstruktionsbedingt ist die Summe ${\displaystyle m+n}$ im zweiten Punkt eine gerade ganze Zahl, deren Hälfte somit eine ganze Zahl ist.

Die ersten Konstruktionsschritte für die positiven Posits mit ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$, das heißt mit ${\displaystyle useed=2^{4}}$, sind:

• Ausgangsformat mit ${\displaystyle 3}$ Bits

${\displaystyle \lbrace 0,1/useed,1,useed,\infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0,2^{-4},2^{0},2^{4},\infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-4}}$ und ${\displaystyle max=2^{4}}$.

• Format mit ${\displaystyle 4}$ Bits:

${\displaystyle \lbrace 0,min/useed,2^{-4},2^{(-4+0)/2},2^{0},2^{(0+4)/2},2^{4},max\cdot useed,\infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0,2^{-8},2^{-4},2^{-2},2^{0},2^{2},2^{4},2^{8},\infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-8}}$ und ${\displaystyle max=2^{8}}$.

• Format mit ${\displaystyle 5}$ Bits:

${\displaystyle \lbrace 0,min/useed,2^{-8},2^{(-8-4)/2},2^{-4},2^{(-4-2)/2},2^{-2},2^{(-2+0)/2},2^{0},2^{(0+2)/2},2^{2},2^{(2+4)/2},2^{4},2^{(4+8)/2},2^{8},max\cdot useed,\infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0,2^{-12},2^{-8},2^{-6},2^{-4},2^{-3},2^{-2},2^{-1},2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},2^{6},2^{8},2^{12},\infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-12}}$ und ${\displaystyle max=2^{12}}$.

• Format mit ${\displaystyle 6}$ Bits:

${\displaystyle \lbrace 0,min/useed}$, ${\displaystyle 2^{-12}}$, ${\displaystyle 2^{(-12-8)/2}}$, ${\displaystyle 2^{-8}}$, ${\displaystyle 2^{(-8-6)/2}}$, ${\displaystyle 2^{-6}}$, ${\displaystyle 2^{(-6-4)/2}}$, ${\displaystyle 2^{-4}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-4}+2^{-3}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{-3}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-3}+2^{-2}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{-2}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-2}+2^{-1}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{-1}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-1}+2^{0}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{0}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{0}+2^{1}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{1}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{1}+2^{2}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{2}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{2}+2^{3}}{2}},}$ ${\displaystyle 2^{3}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{3}+2^{4}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{4}}$, ${\displaystyle 2^{(4+6)/2}}$, ${\displaystyle 2^{6}}$, ${\displaystyle 2^{(6+8)/2}}$, ${\displaystyle 2^{8}}$, ${\displaystyle 2^{(8+12)/2}}$, ${\displaystyle 2^{12}}$, ${\displaystyle max\cdot useed}$, ${\displaystyle \infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0}$, ${\displaystyle 2^{-16}}$, ${\displaystyle 2^{-12}}$, ${\displaystyle 2^{-10}}$, ${\displaystyle 2^{-8}}$, ${\displaystyle 2^{-7}}$, ${\displaystyle 2^{-6}}$, ${\displaystyle 2^{-5}}$, ${\displaystyle 2^{-4}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-4}}$, ${\displaystyle 2^{-3}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-3}}$, ${\displaystyle 2^{-2}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-2}}$, ${\displaystyle 2^{-1}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-1}}$, ${\displaystyle 2^{0}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{1}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{1}}$, ${\displaystyle 2^{2}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{2}}$, ${\displaystyle 2^{3}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{3}}$, ${\displaystyle 2^{4}}$, ${\displaystyle 2^{5}}$, ${\displaystyle 2^{6}}$, ${\displaystyle 2^{7}}$, ${\displaystyle 2^{8}}$, ${\displaystyle 2^{10}}$, ${\displaystyle 2^{12}}$, ${\displaystyle 2^{16}}$, ${\displaystyle \infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-16}}$ und ${\displaystyle max=2^{16}}$.

Ist ${\displaystyle U_{n}^{E_{\text{max}}}}$ die Menge der ${\displaystyle n}$‑Bit-Unum mit höchstens ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ Exponentenbits, so gilt

${\displaystyle \left|U_{n}^{E_{\text{max}}}\right|=2^{n}}$,

das heißt, e​s werden k​eine Bitmuster verschwendet. Außerdem i​st durch d​ie Beziehung

${\displaystyle U_{n}^{E_{\text{max}}}\subsetneq U_{n+1}^{E_{\text{max}}}}$

gesichert, d​ass eine Erhöhung d​er Bitanzahl n​ur mehr Zahlen dargestellt werden können, a​ber keine verschwinden.

Die Menge

${\displaystyle U_{\infty }^{E_{\text{max}}}=\bigcup _{n\geq 3}U_{n}^{E_{\text{max}}}}$

der durch Unums darstellbaren projektiven reellen Zahlen liegt dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$, was bedeutet, dass sich jede reelle Zahl beliebig genau durch ein Unum approximieren lässt.

Interpretation eines Bitmusters

Ausgenommen ${\displaystyle \infty }$ soll die Ordnung auf Postits mit der Ordnung auf ihren Darstellungen übereinstimmen, wobei die Darstellungen als vorzeichenbehaftete ganze Zahlen in Zweierkomplement-Darstellung interpretiert werden. Aus der Menge der Zahlen und dieser Voraussetzung ergibt sich bereits eindeutig, welche Zahl von einer beliebigen Postits-Darstellung beschrieben wird. Hier folgt ein anschauliches, effektives Verfahren.

Besteht das Bitmuster aus 00…0, so repräsentiert es ${\displaystyle 0}$; besteht es aus 10…0, so repräsentiert es ${\displaystyle \infty }$. Nachfolgend werden diese beiden Fälle ausgeschlossen.

Das Vorzeichen ist das erste (= höchstwertige) Bit ${\displaystyle s}$. Wie bei IEEE 754 ist die Interpretation, dass für ${\displaystyle s=0}$ die Zahl positiv und für ${\displaystyle s=1}$ negativ ist. Davon ausgenommen sind die Werte ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \infty }$; tatsächlich hat ${\displaystyle 0}$ technisch gesehen das Vorzeichenbit 0 und ${\displaystyle \infty }$ das Vorzeichenbit 1, dennoch werden beide als weder positiv noch negativ bezeichnet. Im Unterschied zu IEEE-Gleitkommazahlen speichern Posits nicht ein Vorzeichen und einen Betrag.

Die folgenden Betrachtungen werden für ${\displaystyle s=0}$ angegeben. Ist ${\displaystyle s=1}$, so wird die Zahl vor dem Bestimmen der Kennzahlen per Zweierkomplement nicht-negativ gemacht.

Die Lauflänge ${\displaystyle k}$ (engl. run-length) einer konkreten Zahl ergibt sich aus den Regime-Bits. Das Regime folgt auf das Vorzeichen und besteht aus einer Folge gleicher Binärziffern, die durch die jeweils andere Binärziffer beendet wird oder bis zum Ende läuft. Das Regime hat also immer die Form 0…01 oder 1…10 oder, falls das Regime den kompletten Rest der Zahl einnimmt, 1…11 und die kürzestmögliche Formen sind 01, 10 und 11. Für Gesamtlänge 5 sind die möglichen Regimes zwischen 2 und 4 Bits lang, konkret 0001, 001, 01, 10, 110, 1110 und 1111. Führen Nullen das Regime an, so ist ${\displaystyle -k}$ die Anzahl dieser Nullen, also ist ${\displaystyle k}$ negativ. Für 0001 ist ${\displaystyle k=-3}$ usw. bis 01 für ${\displaystyle k=-1}$. Führen hingegen Einsen das Regime an, so ist ${\displaystyle k+1}$ die Anzahl dieser Einsen, also ist ${\displaystyle k}$ positiv oder null. Für 10 ist ${\displaystyle k=0,}$ für 110 ist ${\displaystyle k=1}$ usw. bis 1111 für ${\displaystyle k=3}$. Das Regime kann nicht aus nur Nullen bestehen, denn dann wäre das Bitmuster (je nach Vorzeichenbit) das für ${\displaystyle 0}$ oder ${\displaystyle \infty }$ (s. oben).

Es bezeichnet ${\displaystyle e}$ den numerischen Wert der Exponentenbits, ggf. ergänzt um Nullen, interpretiert als vorzeichenlose binäre Zahl. Ist nämlich die Anzahl der Exponentenbits kleiner als ${\displaystyle E_{\text{max}}}$, werden für die Bestimmung von ${\displaystyle e}$ fiktive Nullen an das Bitmuster angefügt, sodass die vorzeichenlose Zahl aus genau ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ binären Ziffern besteht.

Sind in der Darstellung am Ende noch Bits übrig, die nicht vergeben wurden, so entfallen sie auf die Mantisse. Gibt es ${\displaystyle F}$ Mantissenbits und ist ${\displaystyle F>0}$, so sei ${\displaystyle f}$ der numerische Wert der Mantissenbits, interpretiert als vorzeichenlose binäre Zahl; andernfalls setze ${\displaystyle f=0}$.

Für d​ie Bestimmung d​es numerischen Werts e​ines Unums a​us seinem Bitmuster ist

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f/2^{F})}$.

Anschaulich trägt die Mantisse den Faktor ${\displaystyle 1,f_{1}\ldots f_{F}}$ (in Binärdarstellung) bei, wobei ${\displaystyle f_{i}}$ die binären Ziffern in der Mantisse bezeichnen. In den Begriffen von IEEE 754 ist das Hidden Bit immer 1 und Unums haben generell auch keine subnormalen Zahlen. Der Wert von ${\displaystyle useed}$ ist so gewählt, dass ${\displaystyle 2^{|e|}<useed}$ gilt. Dadurch ist die Darstellung auch eindeutig.

Die Lauflänge erzeugt sehr schnell sehr große oder kleine Beträge auf Kosten der Genauigkeit in der Mantisse, jedoch lassen kurze Regimes, also Lauflängen nahe ${\displaystyle 0}$ und somit Zahlen nahe ${\displaystyle 1}$, viel Platz für Mantissenbits. Dadurch lassen sich im Vergleich zu IEEE-754-Gleitkommazahlen bei derselben Gesamtbitzahl sowohl betragsmäßig größere Zahlen darstellen als auch Zahlen um ${\displaystyle 1}$ genauer auflösen.

Konsequenzen der Darstellung

Ein Posit wird negiert, indem seine Darstellung als Ganzzahl gemäß Zweierkomplement negiert wird. Da die Zweierkomplement-Operation sowohl die Darstellung der ${\displaystyle 0}$ als auch die Darstellung von ${\displaystyle \infty }$ gleich lässt, wird für deren Negation keine Sonderfallbehandlung gebraucht.

Durch die Zweierkomplement-Darstellung ist der Größer-/Kleiner-Vergleich ohne Bestimmung der Kennzahlen möglich (sofern das Format, also Gesamtbreite und ${\displaystyle E_{\text{max}}}$, gleich ist). Mit Ausnahme von ${\displaystyle \infty }$ ist ein Posit kleiner bzw. größer als ein anderes, falls ihre Darstellungen interpretiert als vorzeichenbehaftete Ganzzahlen dieselbe Relation haben. Die Zahlen müssen nicht aufwendig decodiert werden.

Beispielbitmuster

Als Typ setze ein 16-Bit-Unum mit Exponentenlänge ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$ ein. Die Zahl hat das Bitmuster 0:0001:101:11011101, dabei trennt der Doppelpunkt Vorzeichen-, Regime-, Exponenten- und Mantissenbits.

1. Sonderfälle 0 und ${\displaystyle \infty }$: Liegen nicht vor.
2. Bestimme ${\displaystyle useed=2^{2^{3}}=256}$.
3. Vorzeichen 0: ${\displaystyle s=0}$.
4. Laufweite 0001: ${\displaystyle k}$: Es führen 3 Nullen, somit ${\displaystyle -k=3}$, d. h, ${\displaystyle k=-3}$.
5. Exponent 101: ${\displaystyle e=101_{2}=5_{10}}$.
6. Mantisse 11011101: ${\displaystyle f=11011101_{2}=221_{10}}$ mit ${\displaystyle F=8}$.

Daraus ergibt sich

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f/2^{F})=}$

${\displaystyle (-1)^{0}\cdot 256^{-3}\cdot 2^{5}\cdot (1+221/2^{8})=}$

${\displaystyle 1\cdot 2^{-24}\cdot 2^{5}\cdot (1+221/2^{8})}$

Der letzte Ausdruck ergibt ${\displaystyle 3{,}553926944732666015625\cdot 10^{-6}}$.[5]

Tabelle mit Beispielwerten

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir das Format mit 8 Bits und ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$ sowie ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$. Dann ist ${\displaystyle useed=256}$ bzw. ${\displaystyle E_{\text{max}}=4}$. Einige Zahlen und ihre Werte sind in der Tabelle unten eingetragen.

Falls die Anzahl der Exponentenbits kleiner als ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ ist, werden die impliziten Exponentenbits unterstrichen.

Werte von ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle f}$ für ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$	Interpretation für ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$	Bitmuster		Werte von ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle f}$ für ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$	Interpretation für ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$
nicht definiert	${\displaystyle \infty }$	10000000		nicht definiert	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle k=6}$	${\displaystyle useed^{6}=2^{48}\approx 2{,}81\cdot 10^{14}}$	01111111		${\displaystyle k=6,\,e={\underline {0}}_{2}=0}$	${\displaystyle useed^{6}=2^{12}=4096}$
${\displaystyle k=5}$	${\displaystyle useed^{5}=2^{40}\approx 1{,}10\cdot 10^{12}}$	01111110		${\displaystyle k=5,\,e={\underline {0}}_{2}=0}$	${\displaystyle useed^{5}=2^{10}=1024}$
${\displaystyle k=4,\,e=1{\underline {00}}_{2}=4}$	${\displaystyle useed^{4}\cdot 2^{4}=2^{8\cdot 4+4}=2^{36}\approx 6{,}87\cdot 10^{10}}$	01111101		${\displaystyle k=4,\,e=1}$	${\displaystyle useed^{4}\cdot 2^{1}=2^{2\cdot 4+1}=512}$
…
${\displaystyle k=3,\,e=01{\underline {0}}_{2}=2}$	${\displaystyle useed^{3}\cdot 2^{2}=2^{8\cdot 3+2}=2^{26}\approx 6{,}71\cdot 10^{7}}$	01111001	01111001	${\displaystyle k=3,\,e=0,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{3}\cdot 2^{0}\cdot (1+1/2^{1})=96}$
…
${\displaystyle k=2,\,e=101_{2}=5}$	${\displaystyle useed^{2}\cdot 2^{5}=2^{8\cdot 2+5}=2^{21}=2\,097\,152}$	01110101	01110101	${\displaystyle k=2,\,e=1,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{2}\cdot 2^{1}\cdot (1+1/2^{2})=40}$
…
${\displaystyle k=1,\,e=6,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{6}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{8\cdot 1+6}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{14}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{14}\cdot 2^{13}=24\,576}$	01101101	01101101	${\displaystyle k=1,\,e=1,\,F=3,\,f=101_{2}=5}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{1}\cdot (1+5/2^{3})=8\cdot 1{\tfrac {5}{8}}=13}$
…
${\displaystyle k=1,\,e=5,\,F=1,\,f=0}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{5}=2^{8\cdot 1+5}=8192}$	01101010	01101010	${\displaystyle k=1,\,e=1,\,F=3,\,f=010_{2}=2}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{1}\cdot (1+2/2^{3})=8\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=10}$
…
${\displaystyle k=0,\,e=3,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{0}\cdot 2^{3}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=12}$	01001110	01001110	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=14}$	${\displaystyle 1+14/2^{4}=1{,}875}$
${\displaystyle k=0,\,e=3,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle 8\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=10}$	01001101	01001101	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=13}$	${\displaystyle 1+13/2^{4}=1{,}8125}$
…
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=3}$	${\displaystyle 2^{0}\cdot 1{\tfrac {3}{4}}=1{\tfrac {3}{4}}=1{,}75}$	01000011	01000011	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=3}$	${\displaystyle 1+3/16=1{,}1875}$
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}=1{,}5}$	01000010	01000010	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=2}$	${\displaystyle 1+2/16=1{,}125}$
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle 1{\tfrac {1}{4}}=1{,}25}$	01000001	01000001	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=1}$	${\displaystyle 1+1/16=1{,}0625}$
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=0}$	${\displaystyle 1}$	01000000	01000000	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle k=-1,\,e=7,\,F=2,\,f=3}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {3}{4}}=2^{8-7}\cdot 1{\tfrac {3}{4}}=(1{\tfrac {3}{4}})/2=0{,}875}$	00111111	00111111	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=15}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot (1+15/16)=(1+15/16)/2=0{,}96875}$
${\displaystyle k=-1,\,e=7,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{8-7}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=(1{\tfrac {1}{2}})/2=0{,}75}$	00111110	00111110	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=14}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot (1+14/16)=(1+14/16)/2=0{,}9375}$
${\displaystyle k=-1,\,e=7,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=2^{8-7}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=(1{\tfrac {1}{4}})/2=0{,}625}$	00111101	00111101	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=13}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot (1+13/16)=(1+13/16)/2=0{,}90625}$
…
${\displaystyle k=-1,\,e=4,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{4}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}/16=0{,}09375}$	00110010	00110010	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2\cdot 1{\tfrac {1}{8}}=1{\tfrac {1}{8}}/2=0{,}564}$
…
${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=2^{-7}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=0{,}009765625}$	00100101	00100101	${\displaystyle k=-1,\,e=0,\,F=4,\,f=5}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot (1+5/16)=(1+5/16)/4=0{,}328125}$
…
${\displaystyle k=-2,\,e=7,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{-9}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}\approx 0{,}0029297}$	00011111	00011111	${\displaystyle k=-2,\,e=1,\,F=3,\,f=7}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 2\cdot 1{\tfrac {7}{8}}=2^{-3}\cdot 1{\tfrac {7}{8}}=0{,}234375}$
…
${\displaystyle k=-2,\,e=2,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 2^{5}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=0{,}000732421875}$	00010101	00010101	${\displaystyle k=-2,\,e=0,\,F=3,\,f=5}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 1{\tfrac {5}{8}}=1{\tfrac {5}{8}}/16=0{,}1015625}$
…
${\displaystyle k=-3,\,e=6}$	${\displaystyle useed^{-3}\cdot 2^{6}=2^{-8\cdot 3+6}=2^{-18}\approx 3{,}8147\cdot 10^{-6}}$	00001110	00001110	${\displaystyle k=-3,\,e=1,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-3}\cdot 2\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{-5}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=0{,}046875}$
…
${\displaystyle k=-4,\,e=01{\underline {0}}_{2}=4}$	${\displaystyle useed^{-4}\cdot 2^{4}=2^{-8\cdot 4+4}=2^{-28}\approx 3{,}73\cdot 10^{-9}}$	00000101	00000101	${\displaystyle k=-4,\,e=0,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-4}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}/2^{-8}=0{,}005859375}$
…
${\displaystyle k=-5,\,e=1{\underline {00}}_{2}=4}$	${\displaystyle useed^{-5}\cdot 2^{4}=2^{-36}\approx 1{,}46\cdot 10^{-11}}$	00000011		${\displaystyle k=-5,\,e=1}$	${\displaystyle useed^{-5}\cdot 2^{1}=2^{-11}\approx 4{,}88\cdot 10^{-4}}$
${\displaystyle k=-5,\,e=000_{2}=0}$	${\displaystyle useed^{-5}=2^{-40}\approx 9{,}09\cdot 10^{-13}}$	00000010		${\displaystyle k=-5,\,e=0}$	${\displaystyle useed^{-5}=2^{-10}\approx 9{,}77\cdot 10^{-4}}$
${\displaystyle k=-6}$	${\displaystyle useed^{-6}=2^{-48}\approx 3{,}55\cdot 10^{-15}}$	00000001		${\displaystyle k=-6}$	${\displaystyle useed^{-6}=2^{-12}\approx 2{,}44\cdot 10^{-4}}$
nicht definiert	0	00000000		nicht definiert	0

In den fünf Zeilen um die Eins ist deutlich, dass die Kehrwerte nicht eindeutig darstellbar sind, aber auf die korrespondierenden Werte abgebildet werden. Exakte Kehrwerte existieren genau für die Zahlen mit ${\displaystyle f=0}$, also Zweierpotenzen. Weil das Regime für Zahlen mit sehr großem oder sehr kleinem Betrag viele Bits einnimmt und so zunehmend wenige für die Mantisse übrig lässt, sind an den Rändern besonders viele Zweierpotenzen. Durch großes ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ lässt sich dieser Effekt verstärken, jedoch auf Kosten von Zahlen in der Nähe von ${\displaystyle 1}$ (und entsprechend ${\displaystyle -1}$). In der Praxis ist ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ eher klein, so ist ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$ für 8-Bit-Unums eine typische Wahl.

Darstellen einer Zahl als Posit

Für ${\displaystyle x=0}$ und ${\displaystyle x=\infty }$ ist die Darstellung klar. Für ${\displaystyle x<0}$ bestimmt man das Bitmuster von ${\displaystyle |x|}$ und wendet darauf das Zweierkomplement an.

Sei also ${\displaystyle x>0}$ darzustellen. Zuerst bestimme die Lauflänge ${\displaystyle k\leq \log _{useed}(x)}$ maximal oder (mit anderen Worten) bestimmt ${\displaystyle k=\lfloor \log _{useed}(x)\rfloor }$ (wobei ${\displaystyle \lfloor \;\rfloor }$ das Runden zur nächsten ganzen Zahl in Richtung ${\displaystyle -\infty }$ bedeutet). Dadurch sind die Regime-Bits eindeutig festgelegt. Falls noch Bits für den Exponenten übrig sind, bestimme ${\displaystyle e\leq \log _{2}(x/useed^{k})}$ maximal, d. h. ${\displaystyle e=\lfloor \log _{2}(x/useed^{k})\rfloor }$. Falls noch ${\displaystyle F}$ Bits für die Mantisse übrig sind, bestimme

${\displaystyle f_{\text{opt}}=(x\cdot useed^{-k}\cdot 2^{-e}-1)\cdot 2^{F}}$.

Dann gilt

${\displaystyle x=useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f_{\text{opt}}/2^{F})}$,

jedoch ist ${\displaystyle f_{\text{opt}}}$ nicht notwendig ganzzahlig. Daher wird ${\displaystyle f}$ als der gerundete Wert von ${\displaystyle f_{\text{opt}}}$ bestimmt (mit der üblichen Rundung zur nächstgelegenen ganzen Zahl), wobei zur nächsten geraden Zahl gerundet wird, wenn ${\displaystyle f_{\text{opt}}}$ genau zwischen zwei ganzen Zahlen liegt. Zuletzt stellt man ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle f}$ binär dar, wobei ${\displaystyle f}$ im Allgemeinen nicht eingesetzt wird, sondern einaddiert. Beim Runden von ${\displaystyle f_{\text{opt}}}$ kann ein Überlauf auftreten, denn sind ${\displaystyle F}$ Mantissenbits vorgesehen, kann es vorkommen, dass der Wert von ${\displaystyle f}$ genau ${\displaystyle (F+1)}$ Bits zur Darstellung braucht. Möglichst einfach formuliert wird die Darstellung für das Posit mit fiktivem ${\displaystyle f=0}$ mit der Darstellung von ${\displaystyle f}$ addiert (die Darstellungen interpretiert als Ganzzahl). Passt ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle F}$ Bits, ist das dasselbe als würden die letzten Bits einfach gesetzt. Im Ausnahmefall führt dies zur korrekten Anpassung des Exponenten und ggf. Regimes. Eine Ausnahmebehandlung, um nicht einen endlichen Wert auf ${\displaystyle \infty }$ zu runden, ist nicht notwendig, da am oberen Rand des Zahlenbereichs die Regime-Bits die komplette Darstellung einnehmen und weder ${\displaystyle e}$ noch ${\displaystyle f}$ berechnet werden.

Beispiel ${\displaystyle x=0{,}1}$ für das 8-Bit-Format mit ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$. Dann ist ${\displaystyle useed=4}$ und ${\displaystyle \log _{4}(0{,}1)\approx -1{,}166}$, also ist die Lauflänge ${\displaystyle k=-2}$; die Regime-Bits sind somit 001. Es bleiben nach Abzug des Vorzeichenbits noch ein Exponenten-Bit und drei Mantissen-Bits. Für den Exponenten ergibt sich ${\displaystyle e\leq \log _{2}(1{,}16)\approx 0{,}168}$, also abgerundet, ${\displaystyle e=0}$. Für die Mantisse ergibt sich

${\displaystyle f_{\text{opt}}=(1{,}16-1)\cdot 2^{3}=0{,}16\cdot 8=4{,}18}$

und so ergibt sich nach Rundung ${\displaystyle f=5}$. Für die Darstellung bestimmt man ${\displaystyle e=0=0_{2}}$ und ${\displaystyle f=5=101_{2}}$ und es ergibt sich 0:001:0:101. Gegenrechnen ergibt

${\displaystyle useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f/2^{F})=4^{-2}\cdot 2^{0}\cdot (1+5/8)=1{\tfrac {5}{8}}/16=0{,}1015625.}$

Der Wert findet s​ich auch i​n der Tabelle oben.

Beispiel ${\displaystyle x=0{,}9999}$ für das 8-Bit-Format mit ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$. Dann sind ${\displaystyle k=-1}$ und ${\displaystyle e=1}$. Es ergibt sich insbesondere

${\displaystyle f_{\text{opt}}=(0{,}9999\cdot 4^{-(-1)}\cdot 2^{-1}-1)\cdot 2^{4}=15{,}99968\approx 16}$.

Nun passt ${\displaystyle 16=10000_{2}}$ nicht in ${\displaystyle F=4}$ Bits. Die Darstellung ohne ${\displaystyle f}$ wäre 0:01:1:0000 was mit ${\displaystyle 10000_{2}}$ addiert wird. Das ergibt 0:10:0:0000, was die Zahl ${\displaystyle 1}$ darstellt. Die größte Zahl kleiner als ${\displaystyle 1}$ wird von 0:01:1:1111 dargestellt und ist ${\displaystyle 0{,}96875.}$

Die Werte finden s​ich in d​er Tabelle oben.

Beispiel ${\displaystyle x=0{,}1}$ für das 8-Bit-Format mit ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$. Dann ist ${\displaystyle useed=256}$ und ${\displaystyle \log _{256}(0{,}1)\approx -0{,}415}$, also ist die Lauflänge ${\displaystyle k=-1}$; die Regime-Bits sind somit 01. Es bleiben noch 3 Exponenten- und 2 Mantissen-Bits. Für den Exponenten ergibt sich ${\displaystyle e\leq \log _{2}(x\cdot 256)=\log _{2}(25{,}6)\approx 4{,}678}$, also ${\displaystyle e=4=100_{2}}$. Für die Mantisse ergibt sich

${\displaystyle f_{\text{opt}}=(0{,}1\cdot 256^{1}\cdot 2^{-4}-1)\cdot 2^{2}=(1{,}6-1)\cdot 2^{2}=2{,}4}$.

Daraus ergibt sich ${\displaystyle f=2=10_{2}}$. Die Darstellung ist also 0:01:100:10. Gegenrechnen ergibt

${\displaystyle useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f/2^{F})=256^{-1}\cdot 2^{4}\cdot (1+2/4)={\tfrac {1{\tfrac {1}{2}}}{16}}=0{,}09375}$.

Auch dieser Wert findet s​ich auch i​n der Tabelle oben.

Der relative Fehler beträgt beim ersten Beispiel ${\displaystyle 0{,}1015625/0{,}1-1=1{,}5625\%}$ und beim letzten ${\displaystyle 0{,}1/0{,}09375-1=6{\tfrac {2}{3}}\%}$. Die Beispiele zeigen, dass der größere Wertebereich mit einem Genauigkeitsverlust erkauft wird.

Ausnutzen der Posit-Darstellung

Gegenüberstellung der schnellen Sigmoid-Funktion und der fast_sigmoid-Implementierung für 8-Bit Posits

In einem 8-Bit-Unum mit ${\displaystyle E_{\text{max}}=0}$ kann die Sigmoidfunktion ${\displaystyle \textstyle x\mapsto {\tfrac {1}{1+\mathrm {e} ^{-x}}}}$ näherungsweise sehr schnell berechnet werden, indem die Darstellung der Unums ausgenutzt wird. Statt aufwendig die Exponentialfunktion auszuwerten, wird das Vorzeichenbit invertiert und die Darstellung logisch um 2 Stellen nach rechts verschoben. In C entspricht das dem Ausdruck (x ^ 0x80) >> 2.[3] Von der Idee her ist der Ansatz ähnlich wie der zur Berechnung des Kehrwerts der Quadratwurzel.

Standard-Posits

Für die Bitzahlen 16, 32, 64, 128 und 256 existieren IEEE-754-Formate. Geeignete Wahlen von ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ nähern deren Wertebereiche an.

Bits	Exp. (IEEE)	Wertebereich (IEEE)	${\displaystyle E_{\text{max}}}$ (Posit)	Wertebereich (Posit)	Quire-Bits (Posit)
${\displaystyle 8}$	―	―	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-4}}$ bis ${\displaystyle 4\cdot 10^{4}}$0	n. a.
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6\cdot 10^{-8}}$ bis ${\displaystyle 7\cdot 10^{+4}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-9}}$ bis ${\displaystyle 3\cdot 10^{+8}}$	${\displaystyle 128=2^{7}}$0
${\displaystyle 32}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1\cdot 10^{-45}}$ bis ${\displaystyle 3\cdot 10^{+38}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 6\cdot 10^{-73}}$ bis ${\displaystyle 2\cdot 10^{+72}}$	${\displaystyle 1024=2^{10}}$
${\displaystyle 64}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 5\cdot 10^{-324}}$ bis ${\displaystyle 2\cdot 10^{+308}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-299}}$ bis ${\displaystyle 4\cdot 10^{+298}}$	${\displaystyle 4096=2^{12}}$
${\displaystyle 128}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 6\cdot 10^{-4966}}$ bis ${\displaystyle 1\cdot 10^{+4932}}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1\cdot 10^{-4855}}$ bis ${\displaystyle 1\cdot 10^{+4855}}$	${\displaystyle 65\,536=2^{16}}$
${\displaystyle 256}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-78.984}}$ bis ${\displaystyle 2\cdot 10^{+78\,913}}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-78\,297}}$ bis ${\displaystyle 5\cdot 10^{+78\,296}}$	${\displaystyle 1\,048\,576=2^{20}}$

Weblinks

• Umfassende Informationen zu Posits
• Interaktive Website, die die Darstellungen veranschaulicht.

Einzelnachweise

1. Walter F. Tichy: The End of (Numeric) Error: An interview with John L. Gustafson Archiviert vom Original am 10. Juli 2016. In: Association for Computing Machinery (ACM) (Hrsg.): Ubiquity - Information Everywhere. 2016, April 2016, S. 1–14. doi:10.1145/2913029. Abgerufen am 10. Juli 2016. „JG: The word unum is short for universal number, the same way the word bit is short for binary digit.“
2. John L. Gustafson: A Radical Approach to Computation with Real Numbers. In: Supercomputing Frontiers and Innovations. doi:10.14529/jsfi160203 (englisch, superfri.org [PDF; 2,4 MB; abgerufen am 6. Januar 2020]).
3. John L. Gustafson, Isaac Yonemoto: Beating Floating Point at its Own Game: Posit Arithmetic. (PDF) 12. Juni 2017, abgerufen am 28. Dezember 2019 (englisch).
4. John L. Gustafson: Posit Arithmetic. (PDF; 918 KB) 26. März 2019, S. 13, abgerufen am 16. März 2021 (englisch).
5. Rechnung bei WolframAlpha