Total separierter Raum

Total separierte Räume werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie untersucht. In e​inem unzusammenhängenden topologischen Raum g​ibt es mindestens e​ine nicht-leere u​nd vom Gesamtraum verschiedene offen-abgeschlossene Menge, i​n total separierten Räumen g​ibt es s​ehr viele davon.

U ist offen-abgeschlossen, enthält x aber nicht y.

Definition

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt total separiert, falls es zu je zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle x\not =y}$ aus ${\displaystyle X}$ eine offen-abgeschlossene Menge ${\displaystyle U\subset X}$ gibt mit ${\displaystyle x\in U}$ und ${\displaystyle y\notin U}$.

Beachte, dass die Definition symmetrisch bzgl. ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist, denn mit ${\displaystyle U}$ ist ja auch ${\displaystyle X\setminus U}$ offen-abgeschlossen.

Beispiele

• Diskrete Räume sind total separiert. Allgemein hat man für Hausdorffräume folgende Beziehungen, die weitere Beispiele liefern:

Diskret  ${\displaystyle \Rightarrow }$  extremal unzusammenhängend  ${\displaystyle \Rightarrow }$  total separiert  ${\displaystyle \Rightarrow }$  total unzusammenhängend.

• Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan ist total unzusammenhängend aber nicht total separiert.
• Nulldimensionale T₀-Räume sind total separiert.[1] Nulldimensionale Räume passen nicht in obige Reihe, da es extremal unzusammenhängende Hausdorffräume gibt, die nicht nulldimensional sind.[2] Dies zeigt gleichzeitig, dass aus der totalen Separiertheit auch im Falle von Hausdorffräumen nicht deren Nulldimensionalität folgt, wie auch das folgende Beispiel zeigt:
• Auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$ der irrationalen Zahlen sei eine Menge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$ offen genau dann, wenn es für alle ${\displaystyle x\in U}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ gibt, so dass aus ${\displaystyle y\in {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ folgt, dass ${\displaystyle y\in U}$ gilt. Das definiert eine Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$, die total separiert aber nicht nulldimensional ist.[3]

Eigenschaften

• Unterräume total separierter Räume sind wieder total separiert.
• Produkte total separierter Räume sind wieder total separiert.
• Jeder total separierte Raum ist hausdorffsch, denn die definierende Eigenschaft liefert für je zwei Punkte trennende offene Umgebungen.[4]
• Ein lokalkompakter Hausdorffraum ist genau dann total separiert, wenn er total unzusammenhängend ist.[5]

Einzelnachweise

1. René Bartsch: Allgemeine Topologie, Walter De Gruyter (2015), ISBN 978-3-11-040617-7, Satz 6.4.4
2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 113
3. Peter T. Johnstone: Stone Spaces, Cambridge University Press 1982, ISBN 0-521-33779-8, II.4.2 Exercise (ii)
4. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 2.6.3
5. René Bartsch: Allgemeine Topologie, Walter De Gruyter (2015), ISBN 978-3-11-040617-7, Korollar 6.4.8