Extremal unzusammenhängender Raum

Extremal unzusammenhängende Räume werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie (Mathematik) untersucht. Wie s​chon der Name andeutet, s​ind diese Räume s​ehr weit v​on Zusammenhangseigenschaften entfernt. Sie treten i​n der Theorie d​er booleschen Algebren u​nd der abelschen Von-Neumann-Algebren auf.

Definition

Ein topologischer Raum h​at dann schlechte Zusammenhangseigenschaften, w​enn es i​n ihm v​iele offen-abgeschlossene Teilmengen gibt. Fordert m​an in e​inem T₁-Raum, d​ass jede abgeschlossene Menge bereits o​ffen ist, s​o ist d​er Raum diskret. Eine leicht abgeschwächte Forderung führt z​um hier betrachteten Begriff:

Ein topologischer Raum heißt extremal unzusammenhängend, w​enn der Abschluss j​eder offenen Menge wieder o​ffen ist.

Beispiele

• Diskrete Räume sind extremal unzusammenhängend. In metrischen Räumen gilt die Umkehrung, das heißt, extremal unzusammenhängende, metrisierbare Räume sind diskret.
• Die Stone-Čech-Kompaktifizierung ${\displaystyle \beta (\mathbb {N} )}$ der natürlichen Zahlen ist ein nicht-diskreter, extremal unzusammenhängender Raum.

Eigenschaften

• Extremal unzusammenhängende Räume sind total unzusammenhängend. Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa das Beispiel der Cantor-Menge zeigt.
• Extremal unzusammenhängende Hausdorffräume sind sogar total separiert, auch hier gilt die Umkehrung nicht.
• Zu jeder Borelmenge ${\displaystyle B}$ eines extremal unzusammenhängenden kompakten Hausdorffraumes gibt es eine eindeutige offen-abgeschlossene Menge ${\displaystyle A}$, so dass die symmetrische Differenz ${\displaystyle A\,\triangle \,B}$ eine magere Menge ist.[1]
• Ist ${\displaystyle U}$ eine offene und dichte Teilmenge eines extremal unzusammenhängenden kompakten Hausdorffraumes und ist ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ eine stetige und beschränkte Funktion, so gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Funktion ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\rightarrow \mathbb {C} }$, die ${\displaystyle f}$ fortsetzt.[2]

Anwendungen

Boolesche Algebren

Nach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder booleschen Algebra einen total unzusammenhängenden Raum ${\displaystyle X}$, den sogenannten booleschen Raum zur Algebra, so dass die Algebra isomorph zur Mengen-Algebra der offen-abgeschlossenen Mengen in ${\displaystyle X}$ ist. Es gilt[3]:

• Eine boolesche Algebra ist genau dann vollständig (das heiß, jede beschränkte Menge besitzt ein Supremum und ein Infimum), wenn der zugehörige boolesche Raum extremal unzusammenhängend ist.

Abelsche Von-Neumann-Algebren

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind als C*-Algebra nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten kompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$. Für abelsche Von-Neumann-Algebren ist ${\displaystyle X}$ extremal unzusammenhängend.[4]

Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume ${\displaystyle X}$, so dass die Algebra ${\displaystyle C(X)}$ nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.[5]

Einzelnachweise

1. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.2.10.
2. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.2.11.
3. Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra. Reprinted edition. Springer, New York NY u. a. 1974, ISBN 0-387-90094-2, § 21, Theorem 10.
4. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.2.1.
5. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics. Band 1: Elementary Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 100, 1). Academic Press, Boston MA u. a. 1983, ISBN 0-12-393301-3, 5.7.21.