Knaster-Kuratowski-Fan

Der Knaster-Kuratowski-Fan ist ein spezieller auf die Mathematiker Bronisław Knaster und Kazimierz Kuratowski zurückgehender topologischer Raum.[1] Die Bezeichnung Fan, auf Deutsch Fächer, bezieht sich auf die geometrische Form als Unterraum der Ebene. Eine andere Bezeichnung ist Cantor-Teepee[2], die in offensichtlicher Weise ebenfalls eine Anspielung auf die geometrische Form ist und gleichzeitig einen Hinweis auf die der Konstruktion zu Grunde liegenden Cantor-Menge beinhaltet. Es handelt sich um einen zusammenhängenden Raum, der nach Entfernung eines Punktes total unzusammenhängend wird.

Knaster-Kuratowski Fan

Konstruktion

Es sei ${\displaystyle C\subset [0,1]}$ die Cantor-Menge, das heißt die Menge aller Punkte, die eine nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Dezimalentwicklung zur Basis 3 besitzen. ${\displaystyle p}$ sei der Punkt ${\displaystyle \textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}$. Zu jedem ${\displaystyle c\in C}$ sei ${\displaystyle {\overline {cp}}}$ die Strecke, die ${\displaystyle c}$ mit ${\displaystyle p}$ verbindet. Für ${\displaystyle c\in C}$ sei nun

${\displaystyle X_{c}:=\{(x,y)\in {\overline {cp}}|\,y\in \mathbb {Q} \}}$,

falls ${\displaystyle c}$ eine abbrechende, aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Entwicklung zur Basis 3 besitzt, und

${\displaystyle X_{c}:=\{(x,y)\in {\overline {cp}}|\,y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \}}$

für alle anderen ${\displaystyle c\in C}$. Der Raum

${\displaystyle X:=\bigcup _{c\in C}X_{c}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

mit der von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ induzierten Relativtopologie ist der Knaster-Kuratowski-Fan.

Der Unterraum ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ heißt punktierter Knaster-Kuratowski-Fan.

Eigenschaften

• Der Knaster-Kuratowski Fan ist ein separabler, metrischer Raum, denn er ist ein Teilraum von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Der Knaster-Kuratowski Fan ist zusammenhängend. Ist nämlich ${\displaystyle X=U\cup V}$ mit disjunkten und offenen Mengen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$, so muss eine der beiden Mengen ${\displaystyle p}$ enthalten. Dann kann man zeigen, dass diese Menge schon ganz ${\displaystyle X}$ sein muss.[3]
• Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ist total unzusammenhängend. Das liegt im Wesentlichen daran, dass man ${\displaystyle X_{c_{1}}\setminus \{p\}}$ und ${\displaystyle X_{c_{2}}\setminus \{p\}}$ für zwei verschiedene ${\displaystyle c_{1}\not =c_{2}}$ aus ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ durch eine Gerade trennen kann. Zwischen ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ liegt nämlich ein Punkt ${\displaystyle x\in [0,1]\setminus C}$ und die Gerade durch ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle p}$ leistet das Verlangte. Da jedes ${\displaystyle X_{c}\setminus \{p\}}$ für sich total unzusammenhängend ist, kann man schließen, dass ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ist total unzusammenhängend ist.[4]
• Der Unterraum ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ist nicht total separiert.[5] Bekanntlich folgt total unzusammenhängend aus total separiert; wir haben hier also ein Beispiel dafür, dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt.

Einzelnachweise

1. B. Knaster, C. Kuratowski: Sur les ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae (1921), Band 2, Seiten 206–255
2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 129
3. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.2
4. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.1
5. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.3