Knaster-Kuratowski-Fan

Der Knaster-Kuratowski-Fan ist ein spezieller auf die Mathematiker Bronisław Knaster und Kazimierz Kuratowski zurückgehender topologischer Raum.[1] Die Bezeichnung Fan, auf Deutsch Fächer, bezieht sich auf die geometrische Form als Unterraum der Ebene. Eine andere Bezeichnung ist Cantor-Teepee[2], die in offensichtlicher Weise ebenfalls eine Anspielung auf die geometrische Form ist und gleichzeitig einen Hinweis auf die der Konstruktion zu Grunde liegenden Cantor-Menge beinhaltet. Es handelt sich um einen zusammenhängenden Raum, der nach Entfernung eines Punktes total unzusammenhängend wird.

Knaster-Kuratowski Fan

Konstruktion

Es sei die Cantor-Menge, das heißt die Menge aller Punkte, die eine nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Dezimalentwicklung zur Basis 3 besitzen. sei der Punkt . Zu jedem sei die Strecke, die mit verbindet. Für sei nun

,

falls eine abbrechende, aus den Ziffern 0 und 2 bestehende Entwicklung zur Basis 3 besitzt, und

für alle anderen . Der Raum

mit der von induzierten Relativtopologie ist der Knaster-Kuratowski-Fan.

Der Unterraum heißt punktierter Knaster-Kuratowski-Fan.

Eigenschaften

  • Der Knaster-Kuratowski Fan ist ein separabler, metrischer Raum, denn er ist ein Teilraum von .
  • Der Knaster-Kuratowski Fan ist zusammenhängend. Ist nämlich mit disjunkten und offenen Mengen und , so muss eine der beiden Mengen enthalten. Dann kann man zeigen, dass diese Menge schon ganz sein muss.[3]
  • Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan ist total unzusammenhängend. Das liegt im Wesentlichen daran, dass man und für zwei verschiedene aus in durch eine Gerade trennen kann. Zwischen und liegt nämlich ein Punkt und die Gerade durch und leistet das Verlangte. Da jedes für sich total unzusammenhängend ist, kann man schließen, dass ist total unzusammenhängend ist.[4]
  • Der Unterraum ist nicht total separiert.[5] Bekanntlich folgt total unzusammenhängend aus total separiert; wir haben hier also ein Beispiel dafür, dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt.

Einzelnachweise

  1. B. Knaster, C. Kuratowski: Sur les ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae (1921), Band 2, Seiten 206–255
  2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 129
  3. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.2
  4. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.1
  5. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 5.2.3
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