Nulldimensionaler Raum

Nulldimensionaler Raum ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um Räume der topologischen Dimension 0, wobei dies vom verwendeten Dimensionsbegriff abhängt.

Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt null-dimensional, falls er bezüglich der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension oder bezüglich der kleinen oder großen induktiven Dimension null-dimensional ist, das heißt in Formeln:

$\mathrm {dim} (X)=0$ (Lebesgue'sche Überdeckungsdimension)
$\mathrm {Ind} (X)=0$ (große induktive Dimension)
$\mathrm {ind} (X)=0$ (kleine induktive Dimension)

Beziehungen

Ist aus dem Zusammenhang nicht klar, welche Dimension gemeint ist, so sagt man sie dazu. In vielen Fällen ist das aber nicht nötig, denn es gilt:

Für einen normalen Raum $X$ gilt $\mathrm {dim} (X)=0\Leftrightarrow \mathrm {Ind} (X)=0$ , und daraus folgt $\mathrm {ind} (X)=0$ .[1]

Im wichtigen Fall kompakter Hausdorffräume $X$ sind folgende Aussagen äquivalent:[2]

$\mathrm {dim} (X)=0$ .
$\mathrm {Ind} (X)=0$ .
$\mathrm {ind} (X)=0$ .
$X$ ist total unzusammenhängend.

Im Allgemeinen liegen aber nicht so einfache Verhältnisse vor, denn es gibt total unzusammenhängende, metrisierbare, separable Räume mit $\mathrm {dim} (X)>0$ [3] und es gibt normale Räume mit $\mathrm {ind} (X)=0$ , $\mathrm {dim} (X)=1$ und $\mathrm {Ind} (X)=2$ [4].

Jedenfalls sind nulldimensionale Hausdorffräume Räume gleich welcher Art total unzusammenhängend, die Umkehrung gilt nach obigen Bemerkungen nicht, wohl aber für lokalkompakte Räume.[5]

Offen-abgeschlossene Mengen

Direkt aus den Definitionen folgt, dass ein Hausdorffraum genau dann die kleine induktive Dimension 0 hat, wenn er eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen hat. Daher findet man auch diese Eigenschaft als Definition eines nulldimensionalen Raum, so zum Beispiel in [6]. Im wichtigen Fall kompakter Hausdorffräume fällt auch dieser Begriff mit den oben genannten zusammen.

Einzelnachweise

Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 8–3.
Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 8–4 und Satz 8–6.
Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 9–12.
Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Kapitel 19.
Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), § 6, Aufgabe 7.
Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Dover Pubn Inc., New York 1995, ISBN 0-486-68735-X.

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[1] Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 8–3.

[2] Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 8–4 und Satz 8–6.

[3] Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 9–12.

[4] Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Kapitel 19.

[5] Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), § 6, Aufgabe 7.

[6] Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Dover Pubn Inc., New York 1995, ISBN 0-486-68735-X.