Total positive Matrix

In d​er Mathematik s​ind total positive Matrizen (reelle) Matrizen, d​eren Minoren a​lle positiv sind. Total positive Matrizen spielen i​n verschiedenen Gebieten d​er Mathematik, w​ie Graphentheorie, Algebraische Geometrie, stochastischen Prozessen, Spieltheorie, Matroidtheorie u​nd Differentialgleichungen, s​owie bei Brownscher Bewegung, elektrischen Netzwerken u​nd in d​er Chemie e​ine Rolle.[1]

Definition

Eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix

${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$

heißt total positiv, w​enn alle i​hre Minoren

${\displaystyle M_{I,J}:=\det \left[\mathbf {A} \right]_{I,J},\ I,J\subset \left\{1,\ldots ,n\right\},\ |I|=|J|}$

(also d​ie Determinanten d​er quadratischen Untermatrizen, d​ie durch Streichen e​iner oder mehrerer Spalten u​nd Zeilen entstehen) positiv sind:

${\displaystyle M_{I,J}>0\quad {\text{für alle}}\quad I,J\subset \left\{1,\ldots ,n\right\},\ |I|=|J|}$.

Beispiele

Vandermonde-Matrizen ${\displaystyle V(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ mit ${\displaystyle 0<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}}$ sind total positiv.

Satz von Gantmacher und Krein

Der Satz v​on Gantmacher u​nd Krein besagt, d​ass jede t​otal positive Matrix z​u einer Diagonalmatrix

${\displaystyle diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$

mit ${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\ldots >\lambda _{n}>0}$ ähnlich ist.

Geschichte

Total positive Matrizen sind ein Spezialfall positiver Matrizen (Matrizen, deren Einträge positiv sind), die zuerst von Oskar Perron untersucht wurden.[2] Er bewies, dass der betragsmäßig größte Eigenwert einer positiven Matrix reell, positiv und ein einfacher Eigenwert ist. Gantmacher und Krein untersuchten total positive Matrizen und bewiesen, dass alle ihre Eigenwerte reell, positiv und einfach sind.[3] Anne Whitney bewies einen Reduktionssatz, mit dem man die total positiven Matrizen als von einer expliziten Menge einfacher Matrizen erzeugtes Submonoid von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ darstellen kann.[4][5] Dieser Zugang wurde dann von Lusztig auf beliebige halbeinfache Lie-Gruppen übertragen.[6]

Literatur

• T. Ando: Totally positive matrices. In: Linear Algebra Appl. Band 90, 1987, S. 165–219.
• F. Brenti: The applications of total positivity to combinatorics, and conversely. In: F. R. Gantmacher, M. G. Krein: Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems. AMS Chelsea Publ., Providence, RI 2002, S. 451–473.
• George Lusztig: Introduction to total positivity. In: Positivity in Lie theory: open problems. (= de Gruyter expositions in mathematics. Band 26). de Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-016112-5, S. 133–145.
• S. Fomin, A. Zelevinsky: Total positivity: tests and parametrizations. In: Math. Intelligencer. Band 22, 2000, S. 23–33.
• G. Lusztig: A survey of total positivity. In: Milan J. Math. Band 76, 2008, S. 125–134.

Weblinks

• Minicourse on total positivity (Sergei Fomin, Euler Institute for Discrete Mathematics and its Applications)

Einzelnachweise

1. Mark Skandera: Introductory Notes on Total Positivity.
2. Oskar Perron: Zur Theorie der Matrices. In: Math. Ann. Band 64, Nr. 2, 1907, S. 248–263.
3. F. Gantmakher, M. Krein: Sur les matrices complètement non négatives et oscillatoires. In: Compositio Math. Band 4, 1937, S. 445–476.
4. A. M. Whitney: A reduction theorem for totally positive matrices. In: J. Analyse Math. Band 2, 1952, S. 88–92.
5. Charles Loewner: On totally positive matrices. In: Math. Z. Band 63, 1955, S. 338–340.
6. G. Lusztig: Total positivity in reductive groups. In: Lie theory and geometry. (= Progr. Math. 123). Birkhäuser, Boston 1994, ISBN 0-8176-3761-3, S. 531–568.