Torus-Satz

Der Torus-Satz i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Topologie. Er w​ird für d​ie JSJ-Zerlegung v​on 3-Mannigfaltigkeiten benötigt u​nd ist deshalb v​on grundlegender Bedeutung i​n der 3-dimensionalen Topologie.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle M}$ eine orientierbare irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe eine Untergruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ enthält. Dann ist ${\displaystyle M}$ entweder eine Seifert-Faserung oder es gibt einen eingebetteten inkompressiblen Torus ${\displaystyle T^{2}\subset M}$.

Anmerkungen

• Eine zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ isomorphe Untergruppe der Fundamentalgruppe gibt es genau dann, wenn es eine ${\displaystyle \pi _{1}}$-injektive Immersion ${\displaystyle T^{2}\to M}$ gibt. Man kann den Torus-Satz also auch so formulieren: wenn es in ${\displaystyle M}$ einen immersierten inkompressiblen Torus gibt, dann ist ${\displaystyle M}$ entweder eine Seifert-Faserung oder es gibt einen eingebetteten inkompressiblen Torus.
• Seifert-Faserungen haben im Allgemeinen zahlreiche immersierte, aber nicht eingebettete, inkompressible Tori. Diese entstehen wie folgt: sei ${\displaystyle p\colon M\to \Sigma }$ die Projektionsabbildung der Seifert-Faserung und ${\displaystyle \gamma }$ eine in ${\displaystyle \Sigma }$ eingebettete Kurve, die nicht nullhomotop sei. Dann ist ${\displaystyle p^{-1}(\gamma )}$ ein immersierter, inkompressibler Torus, der aber im Allgemeinen, wenn die Faserung singulär ist, nicht eingebettet sein muss.
• Aus dem Torus-Satz folgt durch Kontraposition: eine orientierbare, irreduzible, homotopisch atoroidale 3-Mannigfaltigkeit ist entweder eine Seifert-Faserung oder geometrisch atoroidal. Diese Formulierung ist von Bedeutung für die JSJ-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten, sie impliziert, dass die Komponenten dieser Zerlegung entweder Seifert-Faserungen oder geometrisch atoroidal sind.

Geschichte

Der Torus-Satz im speziellen Fall von Haken-Mannigfaltigkeiten wurde 1968 von Waldhausen vermutet[1] und 1976 von Feustel bewiesen.[2] Der allgemeine Fall wurde 1980 von Scott bewiesen.[3] Die ursprünglich von Scott bewiesene Version besagte, dass unter den Voraussetzungen des Torus-Satzes entweder ${\displaystyle M}$ einen eingebetteten inkompressiblen Torus enthält oder ${\displaystyle \pi _{1}M}$ eine nichttriviale normale zyklische Untergruppe. Zusammen mit der in den 90er Jahren bewiesenen Seifert-Faserraum-Vermutung folgt daraus die obige Formulierung.

Einzelnachweise

1. Friedhelm Waldhausen: On the determination of some bounded 3-manifolds by their fundamental groups alone. In: Proceedings of the International Symposium on Topology and Its Applications Herceg-Novi, 25–31.8.1968 Yugoslavia. = Trudy Meždunarodnogo Simpozija po Topologii i ee Primenenijach Cherceg-Novi, 25–31.8.1968, Jugoslavija. Savez društava matematičara, fizičara i astronoma Jugoslavije, Belgrad 1969, S. 331–332.
2. Charles D. Feustel: On the torus theorem and its applications. In: Transactions of the American Mathematical Society. Bd. 217, 1976, S. 1–43, doi:10.2307/1997556.
3. Peter Scott: A new proof of the annulus and torus theorems. In: American Journal of Mathematics. Bd. 102, Nr. 2, 1980, S. 241–277, doi:10.2307/2374238.