Seifert-Faserraum-Vermutung

In d​er Mathematik i​st die Seifert-Faserraum-Vermutung e​in von Casson-Jungreis u​nd Gabai bewiesener zentraler Lehrsatz d​er 3-dimensionalen Topologie u​nd ein Teil d​er Geometrisierung v​on 3-Mannigfaltigkeiten.

Satz

Sei ${\displaystyle M}$ eine irreduzible, orientierbare, kompakte 3-Mannigfaltigkeit. Wenn die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}M}$ einen Normalteiler besitzt, der eine unendliche zyklische Gruppe ist, dann ist ${\displaystyle M}$ ein Seifertscher Faserraum.

Geschichte

Seifert-Faserungen wurden Anfang d​er 1930er Jahre v​on Seifert definiert u​nd klassifiziert. Wenn e​ine Seifert-Faserung irreduzibel i​st und unendliche Fundamentalgruppe hat, d​ann erzeugt d​ie Homotopieklasse d​er Faser e​ine unendliche zyklische Gruppe i​m Zentrum d​er Fundamentalgruppe, d​ie also insbesondere e​in Normalteiler ist.

Burde u​nd Zieschang bewiesen, d​ass eine Knotengruppe n​ur dann e​inen unendlich zyklischen Normalteiler besitzt, w​enn der Knoten e​in Torusknoten ist. Da Torusknoten d​ie einzigen Knoten sind, d​eren Komplement e​in Seifertscher Faserraum ist, beweist d​ies aus späterer Sicht d​ie Vermutung für Knotenkomplemente.

Waldhausen bewies die Vermutung für Haken-Mannigfaltigkeiten unter der Annahme, dass der zyklische Normalteiler zum Zentrum von ${\displaystyle \pi _{1}M}$ gehört. Den allgemeinen Beweis für Haken-Mannigfaltigkeiten gaben dann Jaco und Shalen nach Vorarbeiten von Gordon und Heil.

Scott bewies, dass eine geschlossene, irreduzible, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe unendlich und isomorph zur Fundamentalgruppe einer Seifert-Faserung ist, selbst eine Seifert-Faserung sein muss. Damit reduzierte er die Seifert-Faserraum-Vermutung auf ein gruppentheoretisches Problem: zu beweisen, dass der Quotient von ${\displaystyle \pi _{1}M}$ nach der unendlichen zyklischen Gruppe entweder eine Fuchssche Gruppe oder eine 2-dimensionale euklidische kristallographische Gruppe ist.

Mess bewies, dass die zum unendlich zyklischen Normalteiler assoziierte Überlagerung homöomorph zu ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$ ist. Insbesondere ist der Quotient von ${\displaystyle \pi _{1}M}$ nach der unendlichen zyklischen Gruppe entweder eine Konvergenzgruppe auf dem Kreis oder eine 2-dimensionale euklidische kristallographische Gruppe. Damit reduzierte er die Seifert-Faserraum-Vermutung auf die Frage, ob jede Konvergenzgruppe auf dem Kreis eine Fuchssche Gruppe (bis auf Konjugation mit Homöomorphismen des Kreises) ist.

Tukia bewies diese Vermutung über Konvergenzgruppen mit Ausnahme von Gruppen, die ein Torsionselement der Ordnung ${\displaystyle \geq 3}$ besitzen. Der verbliebene Fall wurde von Andrew Casson und Douglas Jungreis gelöst, gleichzeitig gab David Gabai einen unabhängigen Beweis mit völlig anderen Methoden.

Literatur

• Gerhard Burde, Heiner Zieschang: Eine Kennzeichnung der Torusknoten. In: Mathematische Annalen. Bd. 167, Nr. 2, 1966, S. 169–176, (doi:10.1007/BF01362170).
• Friedhelm Waldhausen: Gruppen mit Zentrum und 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten. In: Topology. Bd. 6, Nr. 4, 1967, S. 505–517, doi:10.1016/0040-9383(67)90008-0.
• Cameron McA. Gordon, Wolfgang Heil: Cyclic normal subgroups of fundamental groups of 3-manifolds. In: Topology. Bd. 14, Nr. 4, 1975, S. 305–309, doi:10.1016/0040-9383(75)90014-2.
• William H. Jaco, Peter B. Shalen: Seifert Fibered Spaces in 3-Manifolds (= Memoirs of the American Mathematical Society. 220). American Mathematical Society, Providence R.J. 1979, ISBN 0-8218-2220-9.
• Peter Scott: There are no fake Seifert fibre spaces with infinite ${\displaystyle \pi _{1}}$. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 117, Nr. 1, 1983, S. 35–70, doi:10.2307/2006970.
• Geoffrey Mess: The Seifert conjecture and groups which are quasiisometric to planes. Preprint (1988).
• Pekka Tukia: Homeomorphic conjugates of Fuchsian groups. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 391, S. 1–54, 1988, doi:10.1515/crll.1988.391.1.
• David Gabai: Convergence groups are Fuchsian groups. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 136, Nr. 3, 1992, S. 447–510, doi:10.2307/2946597.
• Andrew Casson, Douglas Jungreis: Convergence groups and Seifert fibered 3-manifolds. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 118, 1994, S. 441–456, doi:10.1007/BF01231540.

Weblinks

• Jean-Philippe Préaux: A Survey on Seifert Fiber Space Theorem. In: International Scholarly Research Notices. 2014, doi:10.1155/2014/694106