JSJ-Zerlegung

Die Jaco-Shalen-Johannson-Zerlegung, abgekürzt JSJ-Zerlegung, benannt n​ach William Jaco, Peter Shalen u​nd Klaus Johannson, i​st eine Aussage a​us der Topologie d​er 3-Mannigfaltigkeiten.

Aussage

Sie besagt, d​ass jede irreduzible 3-dimensionale Mannigfaltigkeit e​ine (bis a​uf Isotopie) eindeutige Seifert-gefaserte Untermannigfaltigkeit m​it atoroidalem Komplement besitzt. Diese w​ird auch a​ls charakteristische Untermannigfaltigkeit bezeichnet.

Beweis

Der Beweis w​urde 1979 v​on William Jaco u​nd Peter Shalen[1] sowie, unabhängig v​on diesen, v​on Klaus Johannson[2] durchgeführt.

Konsequenzen

Die JSJ-Zerlegung i​st eine wichtige Voraussetzung für d​ie Geometrisierung v​on 3-Mannigfaltigkeiten. Jede Seifert-gefaserte Mannigfaltigkeit lässt s​ich geometrisieren, u​nd die v​on Grigori Perelman bewiesene Thurston-Vermutung besagt, d​ass jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit e​ine hyperbolische Metrik trägt.

Quellen

  1. Jaco, William H.; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), no. 220
  2. Johannson, Klaus, Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7
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