Teilerfunktion

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.

Die ersten Werte von σ0 ... σ4
n=σ0(n)σ1(n)σ2(n)σ3(n)σ4(n)
1111111
22235917
3324102882
422372173273
552626126626
623412502521394
7728503442402
823415855854369
932313917576643
1025418130113410642
1111212122133214642
12223628210204422386
1313214170219828562
1427424250309640834
1535424260352851332
1624531341468169905
1717218290491483522
182326394556813112931
19192203626860130322
202256425469198170898
21374325009632196964
2221143661011988248914
232322453012168279842
2423386085016380358258
255233165115751391251
2621344285019782485554
273344082020440538084
28227656105025112655746
292923084224390707282
30235872130031752872644

Definition

Für eine natürliche Zahl ist definiert:

.

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von , einschließlich und . Beispielsweise ist demnach

Spezialisierungen

Eigenschaften

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ1
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ2
Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ3
  • ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde gilt: .
  • Hat die Primfaktorzerlegung , so ist
    • ,
    • für , und für   gilt: .
  • Die durchschnittliche Größenordnung von für ist , mit der Riemannschen Zetafunktion .[2]
  • Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ist . Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten
.

Reihenformeln

Speziell für gilt:

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als schreibt: Wenn man nun durch substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die teilen.

Zwei Dirichletreihen m​it der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)[3]

  für 

was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:

 für  

und (S. 292, Satz 305)

Eine Lambert-Reihe m​it der Teilerfunktion ist:

für beliebiges komplexes |q|  1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:[4]

Die Berechnung der ersten Werte von zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" :

Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht , gerade, sind die Teilerfunktionen . Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle :[5]

Quellen

  1. Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
  2. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134.
  3. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292.
  4. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.
  5. Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S. 140.
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