Abundante Zahl

Eine natürliche Zahl heißt abundant (lat. abundans „überladen“), w​enn ihre e​chte Teilersumme (die Summe a​ller Teiler o​hne die Zahl selbst) größer i​st als d​ie Zahl selbst. Ist d​ie Teilersumme dagegen gleich d​er Zahl, spricht m​an von e​iner vollkommenen Zahl, i​st sie kleiner, s​o spricht m​an von e​iner defizienten Zahl.

Eine Zahl n heißt leicht abundant oder man nennt sie quasiperfekte Zahl, wenn die Summe ihrer echten Teiler gleich n+1 ergibt. Die Frage, ob es eine leicht abundante Zahl gibt, ist bislang ungeklärt. Sie müsste eine ungerade Quadratzahl sein, welche größer als ${\displaystyle 10^{35}}$ ist und mindestens sieben verschiedene Primfaktoren hat.[1]

Eine abundante Zahl, welche k​eine pseudovollkommene Zahl i​st (sich a​lso nicht a​ls Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt), n​ennt man merkwürdige Zahl.

Die Differenz d​er echten Teilersumme u​nd der Zahl selber n​ennt man Abundanz.

Beispiele

Die Zahl 20 i​st abundant, d​enn 1+2+4+5+10=22 > 20. Sie h​at eine Abundanz v​on 22-20=2.

Die ersten abundanten Zahlen b​is 100 lauten:

Zahl echte Teilersumme Abundanz ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6=16}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle 1+2+3+6+9=21}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle 1+2+4+5+10=22}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6+8+12=36}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 30}$ ${\displaystyle 1+2+3+5+6+10+15=42}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6+9+12+18=55}$ ${\displaystyle 19}$ ${\displaystyle 40}$ ${\displaystyle 1+2+4+5+8+10+20=50}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 42}$ ${\displaystyle 1+2+3+6+7+14+21=54}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 48}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6+8+12+16+24=76}$ ${\displaystyle 28}$ ${\displaystyle 54}$ ${\displaystyle 1+2+3+6+9+18+27=66}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 56}$ ${\displaystyle 1+2+4+7+8+14+28=64}$ ${\displaystyle 8}$

Zahl echte Teilersumme Abundanz ${\displaystyle 60}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30=108}$ ${\displaystyle 48}$ ${\displaystyle 66}$ ${\displaystyle 1+2+3+6+11+22+33=78}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 70}$ ${\displaystyle 1+2+5+7+10+14+35=74}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 72}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36=123}$ ${\displaystyle 51}$ ${\displaystyle 78}$ ${\displaystyle 1+2+3+6+13+26+39=90}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 80}$ ${\displaystyle 1+2+4+5+8+10+16+20+40=106}$ ${\displaystyle 26}$ ${\displaystyle 84}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6+7+12+14+21+28+42=140}$ ${\displaystyle 56}$ ${\displaystyle 88}$ ${\displaystyle 1+2+4+8+11+22+44=92}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 90}$ ${\displaystyle 1+2+3+5+6+9+10+15+18+30+45=144}$ ${\displaystyle 54}$ ${\displaystyle 96}$ ${\displaystyle 1+2+3+4+6+8+12+16+24+32+48=156}$ ${\displaystyle 60}$ ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle 1+2+4+5+10+20+25+50=117}$ ${\displaystyle 17}$

Die ersten abundanten Zahlen lauten:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, … Folge A005101 in OEIS

Die ersten ungeraden abundanten Zahlen sind

945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, … (Folge A005231 in OEIS)

Die kleinste abundante Zahl i​st 12 (echte Teilersumme 1+2+3+4+6 = 16 > 12).

Die kleinste abundante Zahl, d​ie nicht d​urch 3 teilbar ist, i​st 20 (echte Teilersumme 1+2+4+5+10 = 22 > 20)

Die kleinste ungerade abundante Zahl i​st 945 (echte Teilersumme 1+3+5+7+9+15+21+27+35+45+63+105+135+189+315 = 975 > 945).

Die kleinste ungerade abundante Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist, ist ${\displaystyle 5.391.411.025=5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29}$, dessen echte Teilersumme ${\displaystyle 5.407.897.775}$ ist.

Es f​olgt eine Liste d​er kleinsten abundanten Zahlen, welche n​icht teilbar s​ind durch d​ie ersten n Primzahlen:

12, 945, 5391411025, 20169691981106018776756331, 49061132957714428902152118459264865645885092682687973,, … (Folge A047802 in OEIS)

Die kleinste abundante Zahl, d​ie durch k teilbar ist, i​st höchstens 6k (1 + 2 + 3 + 6 + k + 2k + 3k = 6k+12 > 6k)

Eigenschaften

• Es gibt unendlich viele gerade abundante Zahlen.
• Es gibt unendlich viele ungerade abundante Zahlen.
• Jedes Vielfache (>1) einer perfekten Zahl ist abundant. (Zum Beispiel ist jedes Vielfache von 6 abundant, weil die Teiler dieser Vielfachen auch die Teiler ${\displaystyle 1,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{3}}}$ und ${\displaystyle {\frac {n}{6}}}$ beinhalten, welche für sich als Summe schon ${\displaystyle 1+{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{3}}+{\frac {n}{6}}={\frac {6n+6}{6}}=n+1>n}$ ergeben.)
• Jedes Vielfache einer abundanten Zahl ist abundant. (Zum Beispiel ist jedes Vielfache von 20 abundant (inklusive der 20 selbst), weil die Teiler dieser Vielfachen auch die Teiler ${\displaystyle {\frac {n}{2}},{\frac {n}{4}},{\frac {n}{5}},{\frac {n}{10}}}$ und ${\displaystyle {\frac {n}{20}}}$ beinhalten, welche für sich als Summe schon ${\displaystyle {\frac {n}{2}}+{\frac {n}{4}}+{\frac {n}{5}}+{\frac {n}{10}}+{\frac {n}{20}}={\frac {22n}{20}}=n(1+{\frac {1}{10}})>n}$ ergeben.)
• Jede ganze Zahl >20161 kann als Summe zweier abundanter Zahlen geschrieben werden. Die einzigen 1456 kleineren Zahlen, die nicht als Summe zweier abundanter Zahlen geschrieben werden können, sind die folgenden:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 43, …, 20161 (Folge A048242 in OEIS)

Literatur

• Douglas E. Iannucci: On the smallest abundant number not divisible by the first k primes. In: Bulletin of the Belgian Mathematical Society. Band 12, Nr. 1, 2005, S. 39–44.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Abundante Zahl. In: MathWorld (englisch).
• Peter Hagis Jr., Graeme L. Cohen: Some results concerning quasiperfect numbers. Journal of the Australian Mathematical Society, S. 275–286, abgerufen am 21. Mai 2018 (englisch).
• Douglas E. Iannucci: On the smallest abundant number not divisible by the first k primes. Bulletin of the Belgian Mathematical Society, S. 39–44, abgerufen am 21. Mai 2018 (englisch).

Einzelnachweise

1. Peter Hagis Jr., Graeme L. Cohen: Some results concerning quasiperfect numbers. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Band 33, Nr. 2, 1982, S. 275–286.