Swift-Hohenberg-Gleichung

Die Swift-Hohenberg-Gleichung (nach d​en beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift u​nd Pierre C. Hohenberg) i​st eine mathematische Modellgleichung z​ur Untersuchung v​on Musterbildungsprozessen.[1] Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt d​as Muster d​er Faltenbildung v​on Papillarleisten (Dermatoglyphen) a​n Fingern, a​lso das Muster v​on Fingerabdrücken, s​owie das Muster d​er Bildung v​on Rillen a​uf eintrocknenden Rosinen.[2][3]

Die Gleichung

Es handelt sich um eine partielle Differentialgleichung auf einer reellen oder komplexen skalaren Funktion ${\displaystyle \psi }$ mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument:

${\displaystyle \partial _{t}\psi (x,y,t)=\left[\epsilon -(\Delta +k_{\text{crit}}^{2})^{2}\right]\cdot \psi -R(\psi )}$.

Dabei sind

• ${\displaystyle \partial _{t}}$ die partielle Ableitung nach der Zeit
• der Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ das Analogon zur Temperatur im Bénard-Experiment
• ${\displaystyle \Delta }$ der Laplaceoperator
• ${\displaystyle k_{\text{crit}}}$ eine kritische Kreiswellenzahl
• ${\displaystyle R(\psi )}$ eine nichtlineare Funktion mit ${\displaystyle R(0)=0}$.

Von Interesse ist vor allem das Aussehen von ${\displaystyle \psi (x,y)}$ nach einer hinreichend langen Zeit ${\displaystyle t}$, d. h. die stabilen Lösungen der Gleichung, sofern solche jemals erreicht werden.

Homogene Lösung

Für ${\displaystyle \epsilon <0}$ ergibt sich ${\displaystyle \psi \equiv 0}$ als stabile Lösung der Gleichung.

Kritischer Punkt

Das Verhalten um den kritischen Punkt ${\displaystyle \epsilon =0}$ wird nach einer Fouriertransformation des Linearanteils der Gleichung offensichtlich:

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {\psi }}(k,t)=[\epsilon -(k_{\text{crit}}^{2}-k^{2})^{2}]\cdot {\tilde {\psi }}}$

• Im Fall ${\displaystyle \epsilon <0}$ konvergieren die Amplituden ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ zu allen Wellenzahlen gegen Null, es bildet sich also kein Muster aus.
• Ist ${\displaystyle \epsilon >0}$, so wachsen die Amplituden einiger überkritischer Wellenzahlen. Die überkritischen Wellenzahlen bilden einen Kreis mit dem Radius ${\displaystyle k_{\text{crit}}}$. Es bildet sich ein Muster mit der Wellenlänge ${\displaystyle 2\pi /k_{\text{crit}}}$.

Überkritisches Verhalten

Das überkritische Verhalten für ${\displaystyle \epsilon >0}$ wird durch die Ausformung von ${\displaystyle R(\psi )}$ bestimmt. Ähnlich wie beim Bénard-Experiment sind die Lösungen typischerweise Rollen oder hexagonale Muster.

Literatur

• M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).
• J. Swift (Department of Physics, University of Texas, Austin), P. C. Hohenberg (Bell Laboratories, Murray Hill; Physik Department, Technische Universität München): Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. Phys. Rev. A 15, 319–328 (1977)

Einzelnachweise

1. J. Swift, P. Hohenberg: Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. In: Physical Review A. 15, 1977, S. 319, doi:10.1103/PhysRevA.15.319.
2. Holger Dambeck: Mathematiker erklären Muster von Fingerabdrücken. Spiegel Online, 4. Februar 2015, abgerufen am 5. Februar 2015.
3. Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis, Jörn Dunkel: Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns. In: Nature Materials. 14, 2015, S. 337, doi:10.1038/NMAT4202.