Asymptotische Normalität

Die asymptotische Normalität i​st in d​er mathematischen Statistik e​ine Eigenschaft v​on Statistiken. Eine Statistik, d​er diese Eigenschaft zukommt, w​ird als asymptotisch normale Statistik o​der asymptotisch normalverteilte Statistik bezeichnet. Asymptotisch normale Statistiken zeichnen s​ich dadurch aus, d​ass ihre Verteilung i​m Grenzwert g​egen die Standardnormalverteilung konvergiert (bezüglich d​er Konvergenz i​n Verteilung). Dies ermöglicht d​ie Konstruktion approximativer statistischer Verfahren.

Definition

Gegeben sei eine mit einer Indexmenge ${\displaystyle \Theta }$ indizierte Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P_{\vartheta })}$ und eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.

Dann heißt eine Folge von Statistiken ${\displaystyle T_{n}=T_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ asymptotisch normalverteilt oder asymptotisch normal, wenn es Folgen

${\displaystyle (a_{n}(\vartheta ))_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle (b_{n}(\vartheta ))_{n\in \mathbb {N} }}$

gibt, s​o dass

${\displaystyle {\frac {T_{n}-a_{n}(\vartheta )}{b_{n}(\vartheta )}}{\stackrel {n\to \infty }{\implies }}{\mathcal {N}}(0,1)}$ in Verteilung für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

Die normierten u​nd reskalierten Verteilungen konvergieren a​lso gegen d​ie Standardnormalverteilung.

Verwendung

Asymptotisch normalverteilte Statistiken sind ein Hilfsmittel in der asymptotischen Statistik. Ist die Verteilung einer Statistik ${\displaystyle T_{n}}$ unbekannt, aber asymptotisch normalverteilt, so kann man sie durch

${\displaystyle P(T_{n}\leq t)\approx \Phi \left({\frac {t-a_{n}(\vartheta )}{b_{n}(\vartheta )}}\right)}$

annähern. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Die Stichprobengröße ${\displaystyle n}$ sollte groß genug sein, um den Näherungsfehler klein zu halten. Diese Näherungsmöglichkeit erlaubt es, exakte statistische Methoden, die auf normalverteilte Statistiken zugeschnitten sind (Gauß-Test etc.), als approximative Verfahren auf asymptotisch normalverteilte Statistiken zu übertragen.

Literatur

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.