Steinsche Mannigfaltigkeit

Eine Stein'sche Mannigfaltigkeit i​st ein Objekt a​us der höherdimensionalen Funktionentheorie. Benannt w​urde dieses n​ach dem Mathematiker Karl Stein. Eine Stein'sche Mannigfaltigkeit i​st eine spezielle komplexe Mannigfaltigkeit. Sie i​st die natürliche Definitionsmenge v​on holomorphen Funktionen, d​enn es i​st sichergestellt, d​ass es genügend holomorphe Funktionen gibt; a​lso außer d​en konstanten Funktionen weitere holomorphe Funktionen existieren.

Definition

Mit ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ bezeichne man die Menge der holomorphen Funktionen auf ${\displaystyle M}$. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ der Dimension ${\displaystyle n}$ heißt Stein'sche Mannigfaltigkeit, falls

• ${\displaystyle M}$ holomorph konvex ist, das heißt

${\displaystyle {\hat {K}}=\{z\in M;|f(z)|\leq \sup _{K}|f|\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\,jedes} \ f\in {\mathcal {O}}(M)\}}$

ist eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle M}$ für jede kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset M}$.

• ${\displaystyle M}$ ist holomorph separabel, das heißt für zwei unterschiedliche Punkte ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ in ${\displaystyle M}$, gibt es eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(M)}$ mit

${\displaystyle f(z_{1})\neq f(z_{2})}$.

Beispiele

• Jedes Holomorphiegebiet ist eine Stein'sche Mannigfaltigkeit.
• Sei ${\displaystyle X}$ eine Untermannigfaltigkeit einer Stein'schen Mannigfaltigkeit. Falls ${\displaystyle X}$ abgeschlossen ist, so ist ${\displaystyle X}$ wieder eine Stein'sche Mannigfaltigkeit.
• Eine Riemann'sche Fläche ${\displaystyle M}$ ist genau dann eine Stein'sche Mannigfaltigkeit, wenn ${\displaystyle M}$ nicht kompakt ist.

Einbettungssatz

Jede reelle ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit kann nach dem Einbettungssatz von Whitney in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ eingebettet werden. Dieses Resultat ist für komplexe Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen falsch. Kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten positiver Dimension kann man beispielsweise nicht in den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ einbetten. Jedoch lassen sich Stein'sche Mannigfaltigkeiten immer einbetten. Der folgende Satz wurde von Reinhold Remmert und Errett Bishop bewiesen.

Sei ${\displaystyle M}$ eine Stein'sche Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle n}$, dann existiert eine holomorphe Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} ^{2n+1}}$, welche injektiv und eigentlich ist.

In dem Fall ${\displaystyle n\geq 2}$ kann man jede ${\displaystyle n}$-dimensionale Stein'sche Mannigfaltigkeit in den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}}$ einbetten. Für ${\displaystyle n>6}$ kann man diese sogar in den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n-\left[(n-2)/3\right]}}$ einbetten. Hierbei ist ${\displaystyle [.]}$ die Gaußklammer, welche den Wert auf die nächste ganze Zahl aufrundet.

Literatur

• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (= North-Holland Mathematical Library 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.