Stark konvexer Raum

Stark konvexe Räume s​ind im mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtete normierte Räume, d​ie einer speziellen Konvexitätsbedingung genügen. Diese i​st eine geometrische Eigenschaft, d​ie unter anderem z​ur Folge hat, d​ass der Rand d​er Einheitskugel k​eine "großen", konvexen Mengen enthält. Dieser Begriff g​eht auf Witold Lwowitsch Schmulian zurück.[1]

Stark konvexer Raum: Der nicht-leere Durchschnitt aus Kugel und konvexer Menge wird beliebig klein.

Kein stark konvexer Raum: Der nicht-leere Durchschnitt aus Kugel und konvexer Menge hat stets einen positiven Durchmesser.

Definitionen

Für einen normierten Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ sei ${\displaystyle B_{X}:=\{x\in X;\,\|x\|\leq 1\}}$ die Einheitskugel sowie ${\displaystyle rB_{X}}$ die um den Faktor ${\displaystyle r>0}$ gestreckte Kugel, das heißt die Kugel um 0 mit Radius ${\displaystyle r}$. Für eine Teilmenge ${\displaystyle A\subset X}$ sei ${\displaystyle \operatorname {diam} (A):=\sup\{\|x-y\|;\,x,y\in A\}}$ der Durchmesser dieser Menge und ${\displaystyle \operatorname {dist} (A,y):=\inf\{\|x-y\|;\,x\in A\}}$ der Abstand eines Punktes ${\displaystyle y}$ zu dieser Menge.

Ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt stark konvex, falls für jede nicht-leere konvexe Menge ${\displaystyle C\subset X}$ gilt:

${\displaystyle \operatorname {diam} (rB_{X}\cap C)\rightarrow 0}$ für ${\displaystyle r\searrow \operatorname {dist} (C,0)}$.[2]

Beispiele und Eigenschaften

• Wie nebenstehende Zeichnungen verdeutlichen, ist der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit der euklidischen Norm stark konvex, mit der Summennorm hingegen nicht. Dies zeigt auch, dass starke Konvexität von der Norm abhängt und nicht nur von der Isomorphieklasse des Raums.
• Gleichmäßig konvexe Räume sind stark konvex, stark konvexe Räume sind strikt konvex, die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht.[3]
• Nach Ky Fan und Irving Glicksberg hat jeder stark konvexe Raum die Radon-Riesz-Eigenschaft und ist umgekehrt jeder reflexive, strikt konvexe Raum mit der Radon-Riesz-Eigenschaft stark konvex.[4][5]
• Es sei ${\displaystyle \ell ^{1}}$ der Folgenraum der absolut-summierbaren Folgen mit der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ sowie ${\displaystyle \ell ^{2}}$ der Folgenraum der quadratisch-summierbaren Folgen mit der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$. Bekanntlich ist ${\displaystyle \ell ^{1}\subset \ell ^{2}}$ und durch ${\displaystyle \textstyle \|x\|:=(\|x\|_{1}^{2}+\|x\|_{2}^{2})^{1/2}}$ wird eine zu ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ äquivalente Norm auf ${\displaystyle \ell ^{1}}$ definiert. Dann ist ${\displaystyle (\ell ^{1},\|\cdot \|)}$ strikt konvex, hat die Radon-Riesz-Eigenschaft (sogar die stärkere Schur-Eigenschaft), ist aber nicht stark konvex.

Äquivalente Charakterisierungen

Es stellt sich heraus, dass man in der Definition der starken Konvexität nicht alle konvexen Mengen des normierten Raumes ${\displaystyle X}$ betrachten muss, es genügt sich auf abgeschlossene Halbräume zu beschränken. Diese kann man bekanntlich durch die Realteile stetiger, linearer Funktionale, das heißt durch Elemente des Dualraums ${\displaystyle X'}$, beschreiben. Das spiegelt sich in der folgenden Liste äquivalenter Aussagen über einen normierten Raum ${\displaystyle X}$ wider[6]:

• ${\displaystyle X}$ ist stark konvex.
• Für jedes ${\displaystyle f\in X',\|f\|=1}$ gilt ${\displaystyle \operatorname {diam} \{x\in X;\,\|x\|\leq 1,\operatorname {Re} f(x)\geq 1-\delta \}\rightarrow 0}$ für ${\displaystyle \delta \searrow 0}$.
• Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ für alle Folgenglieder und ist ${\displaystyle f\in X',\|f\|=1}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Re} f(x_{n})\rightarrow 1}$, so ist die Folge eine Cauchy-Folge.
• Ist ${\displaystyle C\subset X}$ nicht leer und konvex, ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle \|x-y_{n}\|\rightarrow \operatorname {dist} (C,x)}$, so ist die Folge eine Cauchy-Folge.

Die Cauchy-Folgen in obigen äquivalenten Charakterisierungen sind im Allgemeinen wegen fehlender Vollständigkeit nicht konvergent. Unter Berücksichtigung der Vollständigkeit erhält man, dass für einen normierten Raum ${\displaystyle X}$ folgende Aussagen äquivalent sind[7]:

• ${\displaystyle X}$ ist ein stark konvexer Banachraum.
• Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ für alle Folgenglieder und ist ${\displaystyle f\in X',\|f\|=1}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Re} f(x_{n})\rightarrow 1}$, so konvergiert die Folge.
• Ist ${\displaystyle C\subset X}$ nicht leer, abgeschlossen und konvex, ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle \|x-y_{n}\|\rightarrow \operatorname {dist} (C,x)}$, so konvergiert die Folge in ${\displaystyle C}$.
• ${\displaystyle X}$ ist reflexiv, strikt konvex und hat die Radon-Riesz-Eigenschaft.

Einzelnachweise

1. V. L. Schmulian: Sur la dérivabilité de la norme dans l'espace de Banach, Doklady Acad. Sci. URSS (1940), Band 27, Seiten 643–648
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.3.15
3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.3.16
4. K. Fan, I. Glicksberg: Some geometric properties of the speres in a normed space, Duke Math. J (1958), Band 25, Seiten 553–568
5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theoreme 5.3.22 und 5.3.23
6. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theoreme 5.3.17 und 5.3.20
7. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Korollar 5.3.18, Theorem 5.3.21, sowie 5.33