Radon-Riesz-Eigenschaft

Die Radon-Riesz-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Frigyes Riesz, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von normierten Räumen. Sie beschreibt einen Zusammenhang zwischen schwach-konvergenten und norm-konvergenten Folgen. Andere Bezeichnungen sind Kadets-Klee-Eigenschaft, nach M. I. Kadets und Victor Klee oder einfach Eigenschaft (H), was ursprünglich einer alphabetischen Aufzählung von Eigenschaften entstammt und z. B. im unten angegebenen Lehrbuch[1] vom Mahlon Day verwendet wird.

Definition

Ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ hat die Radon-Riesz-Eigenschaft, wenn er folgende Bedingung erfüllt: Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in diesem Raum, die schwach gegen ein ${\displaystyle x\in X}$ konvergiert und für die ${\displaystyle \|x_{n}\|\rightarrow \|x\|}$ gilt, so folgt bereits ${\displaystyle \|x_{n}-x\|\rightarrow 0}$ . Man nennt den Raum in diesem Fall auch einen Radon-Riesz-Raum.[2]

Beispiele

• Jeder Raum mit der Schur-Eigenschaft hat die Radon-Riesz-Eigenschaft, da bei ersterer schon aus dem Vorliegen der schwachen Konvergenz der Folge allein die Normkonvergenz folgt.
• Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {S}},\mu )}$ ein Maßraum mit positivem Maß und ist ${\displaystyle 1<p<\infty }$ , so hat der L^p-Raum ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathfrak {S}},\mu )}$ die Radon-Riesz-Eigenschaft. Diese von J. Radon und F. Riesz bewiesene Aussage ist auch als Satz von Radon-Riesz bekannt, woraus sich die spätere Benennung dieser Eigenschaft ergab.
• Jeder gleichmäßig konvexe Raum, sogar jeder lokal gleichmäßig konvexe Raum hat die Radon-Riesz-Eigenschaft.[3] Da die L^p-Räume gleichmäßig konvex sind, verallgemeinert dies das vorangegangene Beispiel. Insbesondere hat jeder Hilbertraum die Radon-Riesz-Eigenschaft.
• Stark konvexe Räume haben die Radon-Riesz-Eigenschaft.
• Es gibt Banachräume mit der Radon-Riesz-Eigenschaft, die nicht strikt konvex sind. Dazu renormiere man den Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{p}}$ für ein ${\displaystyle 1<p<\infty }$ durch ${\displaystyle \|(\alpha _{n})_{n}\|:=\max\{|\alpha _{1}|,\|(0,\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots )\|_{p}\}}$ . Der Banachraum ${\displaystyle (\ell ^{p},\|\cdot \|)}$ ist dann ein Beispiel der gewünschten Art.[4]
• Der Folgenraum ${\displaystyle c_{0}}$ der Nullfolgen mit der Supremumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ hat nicht die Radon-Riesz-Eigenschaft. Bezeichnet ${\displaystyle e_{n}}$ die Folge, die an der n-ten Stelle eine 1 und sonst überall eine 0 hat, so gilt offenbar ${\displaystyle e_{1}-e_{n+1}\rightarrow e_{1}}$ schwach und ${\displaystyle 1=\|e_{1}-e_{n+1}\|_{\infty }\rightarrow \|e_{1}\|_{\infty }=1}$ , aber wegen ${\displaystyle \|(e_{1}-e_{n+1})-e_{1}\|_{\infty }=1}$ liegt keine Normkonvergenz vor.

Charakterisierung

Man erhält eine äquivalente Formulierung, indem man die Vektoren in der Definition der Radon-Riesz-Eigenschaft auf solche der Länge 1 einschränkt. Bezeichnet ${\displaystyle S_{X}}$ die Einheitssphäre ${\displaystyle \{x\in X;\,\|x\|=1\}}$ eines normierten Raums ${\displaystyle X}$ , so gilt:

• Ein normierter X hat genau dann die Radon-Riesz-Eigenschaft, wenn für jede Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle S_{X}}$ , die schwach gegen ein ${\displaystyle x\in S_{X}}$ konvergiert, bereits ${\displaystyle \|x_{n}-x\|\rightarrow 0}$ folgt.

Ist d​ie relative schwache Topologie a​uf beschränkten Mengen metrisierbar, z​um Beispiel w​enn der Dualraum separabel ist, s​o bedeutet das, d​ass die schwache Topologie u​nd die Normtopologie a​uf der Einheitssphäre übereinstimmen.

Einzelnachweise

1. M. M. Day: Normed linear spaces, Springer-Verlag (1973), ISBN 3-540-06148-7
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 2.5.26
3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.3.7
4. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity: Theory and Applications, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics (1984), ISBN 0-824-71796-1, Beispiel 2.4.46