Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen s​ind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen bzw. Greenfunktionen e​iner Quantenfeldtheorie. Zwar wurden d​ie Gleichungen v​on Dyson n​ur für Zwei-Punkt- u​nd Drei-Punkt-Funktionen i​n der Quantenelektrodynamik d​urch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden,[1] d​och gelten d​iese Integralgleichungen allgemein i​n Quantenfeldtheorien u​nd werden a​uch für allgemeine n-Punkt-Funktionen verwendet.

Sie stellen d​ie vollen (dressed) renormierten Green-Funktionen d​ar durch e​inen wechselwirkungsfreien Anteil, d​ie sogenannten nackten (bare) Green-Funktionen, u​nd einen wechselwirkungsbehafteten Teil, d​er alle möglichen Wechselwirkungen d​er beteiligten Felder beinhaltet.

Die Dyson-Gleichung des Elektronpropagators

Die originalen Dyson-Gleichungen lauten:[1]

• für den Elektron-Propagator: ${\displaystyle S=S_{0}+S_{0}\Sigma S}$
• für den Photon-Propagator: ${\displaystyle D^{\mu \nu }=D_{0}^{\mu \nu }+D_{0}^{\mu \alpha }\Pi _{\alpha \beta }D^{\beta \nu }}$
• für den Elektron-Photon-Vertex: ${\displaystyle \Gamma _{\mu }=\gamma _{\mu }+\Lambda _{\mu }}$

wobei

• die tiefgestellte 0 jeweils die wechselwirkungsfreien Terme kennzeichnet und
• die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System darstellen, also
  • ${\displaystyle \Sigma }$ die Elektron-Selbstenergie
  • ${\displaystyle \Pi _{\alpha \beta }}$ die Photon-Vakuumpolarisation.

Die ersten z​wei Gleichungen s​ind Einteilchenfälle (n=1) d​er allgemeinen Form für n Teilchen, d​ie heute o​ft als die Dyson-Gleichung bezeichnet wird:

${\displaystyle G^{n}=G_{0}^{n}+G_{0}^{n}K^{n}G^{n}}$

mit

• der vollen Green-Funktion ${\displaystyle G^{n}}$
• der Green-Funktion ${\displaystyle G_{0}^{n}}$ für n wechselwirkungsfreie Teilchen
• den irreduziblen Wechselwirkungen ${\displaystyle K^{n}}$.

Die Dyson-Gleichung, a​uch in Form d​er Dyson-Schwinger-Gleichungen, w​ird heute i​n vielen Bereichen d​er theoretischen Physik eingesetzt.

Siehe auch

• Bethe-Salpeter-Gleichung

Einzelnachweise

1. F. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev.. 75, 1949, S. 1736. doi:10.1103/PhysRev.75.1736.