Seiberg-Witten-Gleichung

Die Seiberg-Witten-Gleichungen stammen a​us der Seiberg-Witten-Theorie i​n der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In d​er Mathematik w​ird der Modulraum i​hrer Lösungen z​ur Konstruktion d​er Seiberg-Witten-Invarianten verwendet.

Gleichungen

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spin^c-Struktur mit assoziierten Spinorbündeln ${\displaystyle W^{\pm }}$ .

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“ ${\displaystyle \phi }$ (d. h. einen Schnitt von ${\displaystyle W^{+}}$ ) und einen ${\displaystyle U(1)}$ -Zusammenhang ${\displaystyle A}$ auf dem Determinantenbündel ${\displaystyle L}$ . Sie lauten:

${\displaystyle D^{A}\phi =0,}$

${\displaystyle F_{A}^{+}+\tau (\phi )=0.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle D^{A}}$ den Dirac-Operator des Zusammenhangs, ${\displaystyle F_{A}}$ die Krümmungsform des Zusammenhangs, ${\displaystyle F_{A}^{+}:={\frac {1}{2}}(F_{A}+F_{A}^{*})}$ ihren selbstdualen Anteil, und ${\displaystyle \tau (\phi )}$ den spurfreien Anteil des Endomorphismus ${\displaystyle \theta \to \langle \theta ,\phi \rangle \phi }$ von ${\displaystyle W^{+}}$ .

Gestörte Gleichungen

Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{2,+}(M,i\mathbb {R} )}$ betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

${\displaystyle D^{A}\phi =0,}$

${\displaystyle F_{A}^{+}+\tau (\phi )+\eta =0.}$

Literatur

• N. Seiberg, E. Witten: Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory, Nuclear Physics B, Volume 426, Issue 1, 5. September 1994, Seiten 19–52.