Schwache Markoweigenschaft

Die schwache Markoweigenschaft i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine Eigenschaft e​ines stochastischen Prozesses. Sie w​ird genutzt, u​m allgemeine Markowprozesse z​u definieren, u​nd ist e​ine Verschärfung d​er elementaren Markoweigenschaft, d​a sie i​m Gegensatz z​u dieser n​och fordert, d​ass die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen d​en Zuständen unabhängig v​om Zeitpunkt d​es Übergangs sind. Meist w​ird die schwache Markoweigenschaft a​ls "die Markoweigenschaft" bezeichnet u​nd auf d​en Zusatz "schwach" verzichtet.

Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess mit Werten in ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$ und Zeitmenge ${\displaystyle T\subset [0,\infty )}$, die außerdem abgeschlossen bezüglich Addition sei und die 0 enthält. Sei ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ die erzeugte Filtrierung des Prozesses.

Man definiert den Markowkern der Übergangswahrscheinlichkeiten zur Zeitdifferenz ${\displaystyle t}$ als Kern von ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$ nach ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$ durch

${\displaystyle \kappa _{t}(x,A):=P_{x}(X_{t}\in A)}$

für ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(E)}$. Dabei ist ${\displaystyle P_{x}(X_{t}\in A)}$ die Wahrscheinlichkeit, zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ in ${\displaystyle A}$ zu sein, wenn man in ${\displaystyle X_{0}=x\in E}$ gestartet ist.

Der Prozess hat dann die schwache Markoweigenschaft, wenn für beliebiges ${\displaystyle s,t\in T}$ und alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(E)}$ und alle ${\displaystyle x\in E}$ gilt, dass

${\displaystyle P_{x}(X_{s+t}\in A|{\mathcal {F}}_{s})=\kappa _{t}(X_{s},A)}$

ist (${\displaystyle P_{x}}$-fast sicher).

Interpretation

Die Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{s})}$ enthält die Informationen über den Verlauf des Prozesses vom Start bis zum Zeitpunkt ${\displaystyle s}$, demnach ist entsprechend dem bedingten Erwartungswert die bedingte Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(X_{s+t}\in A|{\mathcal {F}}_{s})}$ die Wahrscheinlichkeit, zu einem späteren Zeitpunkt ${\displaystyle s+t}$ in ${\displaystyle A}$ zu sein, wenn das Vorwissen ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ über den Prozess bekannt ist.

Entsprechend der obigen Ausführung ist dann ${\displaystyle \kappa _{t}(X_{s},A)}$ die Wahrscheinlichkeit bei Start in ${\displaystyle X_{s}}$ nach ${\displaystyle t}$ Zeiteinheiten in ${\displaystyle A}$ zu sein. Die bedeutet Folgendes: Fixiert man zu einem beliebigen Zeitpunkt ${\displaystyle s}$ einen Zustand ${\displaystyle X_{s}}$ und geht dann von diesem Zustand mit dem Wissen über die gesamte Vergangenheit des Prozesses nochmals ${\displaystyle t}$ Zeitschritte nach vorn, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses ${\displaystyle A}$ dieselbe, wie wenn man direkt im fixierten Zustand ${\displaystyle X_{s}}$ gestartet hätte und um ${\displaystyle t}$ nach vorn gegangen wäre. Die Vergangenheit des Prozesses hat also keinen Einfluss auf die Übergangswahrscheinlichkeiten. So gesehen hat der Prozess ein „kurzes Gedächtnis“. Außerdem hat auch der Zeitpunkt ${\displaystyle s}$ keinen Einfluss auf die Übergangswahrscheinlichkeiten, der Prozess ist also homogen.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung d​er schwachen Markoweigenschaft i​st die starke Markoweigenschaft. Sie fordert b​ei einem Markowprozess, d​ass die schwache Markoweigenschaft n​icht nur für deterministische Zeitpunkte gilt, sondern d​ass sie a​uch für (zufällige) Stoppzeiten gilt.

Weblinks

• A.N. Shiryaev: Markov property. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.