Starke Markoweigenschaft

Die starke Markoweigenschaft i​st eine Eigenschaft, d​ie einer Klasse v​on stochastischen Prozessen, genauer gesagt Markowprozessen zukommen kann, a​ber nicht muss. Somit i​st sie d​er Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Die starke Markoweigenschaft i​st eine Verschärfung d​er schwachen Markoweigenschaft, b​ei der e​in deterministischer Zeitpunkt d​urch eine (zufällige) Stoppzeit ersetzt wird.

Definition

Gegeben sei ein Markowprozess mit Verteilungen ${\displaystyle (P_{x})_{x\in E}}$ und Indexmenge ${\displaystyle T}$.

Der Prozess hat nun die starke Markoweigenschaft, wenn für jede beschränkte, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)^{\otimes T}}$-${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$-messbare Funktion ${\displaystyle f\colon E^{\times T}\to \mathbb {R} }$ und für jede endliche Stoppzeit ${\displaystyle \tau }$ und alle ${\displaystyle x\in E}$ die Gleichung

${\displaystyle \operatorname {E} _{x}(f((X_{\tau +t})_{t\in T})|{\mathcal {F}}_{\tau })=\operatorname {E} _{X_{\tau }}(f(X))}$

gilt.

Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ die σ-Algebra der τ-Vergangenheit und man definiert

${\displaystyle \operatorname {E} _{X_{\tau }}(f(X)):=\int _{E^{\times T}}f(y)\kappa (X_{\tau },\mathrm {d} y)}$.

Für abzählbare Indexmengen

Bezeichnet man mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}}$ die Verteilung des Prozesses beim Start in ${\displaystyle x}$, so ist für abzählbare Indexmengen ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$ die starke Markoweigenschaft äquivalent zu

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}((X_{\tau +t})_{t\in \mathbb {N} }|{\mathcal {F}}_{\tau })={\mathcal {L}}_{X_{\tau }}((X_{t})_{t\in \mathbb {N} })}$

für alle endlichen Stoppzeiten ${\displaystyle \tau }$. In diesem Fall lässt sich beweisen, dass die starke Markoweigenschaft bereits aus der schwachen Markoweigenschaft folgt.

Weblinks

• A.N. Shiryaev: Markov property. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 362, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.