Elementare Markoweigenschaft

Die elementare Markoweigenschaft i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine Eigenschaft v​on stochastischen Prozessen. Sie i​st eine allgemein formulierte Bedingung daran, w​ie sehr d​er Prozess v​on seiner Vergangenheit beeinflusst w​ird und ermöglicht d​ie Definition v​on Markowprozessen u​nter vielfältigen Rahmenbedingungen.

Definition

Gegeben sei eine Indexmenge ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ sowie ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ mit Werten in ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ und mit erzeugter Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$.

Der Prozess ${\displaystyle X}$ hat die elementare Markoweigenschaft, wenn für jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und alle ${\displaystyle s,t\in T}$ mit ${\displaystyle s\leq t}$ gilt, dass

${\displaystyle P(X_{t}\in A|{\mathcal {F}}_{s})=P(X_{t}\in A|\sigma (X_{s}))}$.

Interpretation

Aufbauend auf dem bedingten Erwartungswert lässt sich der Term ${\displaystyle P(X\in A|{\mathcal {B}})}$ interpretieren als die beste Vorhersage, die man für das Ereignis ${\displaystyle X\in A}$ angeben kann, wenn man über die Informationen aus ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ verfügt.

Die Filtrierung ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ enthält nun alle Informationen über den Verlauf des Prozesses von Beginn bis zum Zeitpunkt ${\displaystyle s}$, die σ-Algebra ${\displaystyle \sigma (X_{s})}$ nur die Informationen über den Zeitpunkt ${\displaystyle s}$.

Die elementare Markoweigenschaft besagt nun, dass die beste Vorhersage für ein Ereignis sich nicht mit der Informationslage verändert. Egal ob man den gesamten Verlauf bis ${\displaystyle s}$ oder nur den aktuellen Zustand in ${\displaystyle s}$ kennt, die Vorhersage für den weiteren Verlauf des Prozesses wird dadurch nicht verändert. Dies ist die „Gedächtnislosigkeit“ bzw. das „kurze Gedächtnis“, das alle Markowprozesse kennzeichnet.

Beziehung zur schwachen Markoweigenschaft

Die elementare Markoweigenschaft i​st allgemeiner a​ls die Schwache Markoweigenschaft. Diese fordert d​ie Existenz e​ines Markowkerns, d​er die Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt. Außerdem fordert s​ie im Gegensatz z​ur elementaren Markoweigenschaft, d​ass die Übergangswahrscheinlichkeiten zeitunabhängig sind, s​ie wird a​lso nur v​on homogenen Markowprozessen erfüllt.

Weblinks

• Markov Process. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• A.N. Shiryaev: Markov Property. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.