Satz von Meyers-Serrin

Der Satz v​on Meyers-Serrin o​der Satz v​on Meyers u​nd Serrin, benannt n​ach Norman George Meyers u​nd James Serrin, i​st ein Satz a​us der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen. Er besagt, d​ass die unendlich o​ft differenzierbaren Funktionen i​n Sobolev-Räumen d​icht liegen.[1]

Formulierung

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene, nichtleere Teilmenge und seien ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ Zahlen. Dann liegt der Untervektorraum ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\cap W^{k,p}(\Omega )}$ dicht im Raum ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$ Dabei bezeichnet ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ den Sobolev-Raum.[2][3]

Hilfssätze

Es sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ offen, zusammenhängend und beschränkt. Die auf Kurt Friedrichs zurückgehende (Friedrichssche) Glättungsfunktion (Mollifier) ${\displaystyle K\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ lautet

${\displaystyle K(x)={\begin{cases}\lambda \exp \left(-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}\right)&{\text{für}}|x|<1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$,

wobei die Konstante ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ so gewählt werden soll, dass gilt:

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K(x)\mathrm {d} x=1}$.

Zudem setze

${\displaystyle K_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}K\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)}$,

weshalb auch ${\displaystyle K_{\varepsilon }(x)=0}$ für ${\displaystyle |x|\geqq \varepsilon }$ sowie ${\displaystyle \|K_{\varepsilon }\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}=1}$ erfüllt sind. Das Faltungsintegral, die Abglättung von ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\varepsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

existiert dann und ist beliebig oft differenzierbar für ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$.[4]

Satz 1

Sei ${\displaystyle 1\leqq p<\infty }$. Jeder Funktion ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega )}$ und jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ordnen wir die regularisierte Funktion (Abglättung):

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x):={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}\int \limits _{\Omega }K\left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)f(y)\mathrm {d} y}$ mit ${\displaystyle x\in \Omega }$,

zu. Dann ist die Abbildung ${\displaystyle f\mapsto f_{\varepsilon }}$ linear von ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ nach ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ und es gilt:

${\displaystyle \|f_{\varepsilon }\|_{L^{p}(\Omega )}\leqq \|f\|_{L^{p}(\Omega )}\ \forall \varepsilon >0,f\in L^{p}(\Omega )}$.

Satz 2

Es gelten d​ie folgenden Aussagen:

1. Für ${\displaystyle f\in C_{0}^{0}(\Omega )}$ gilt:

   ${\displaystyle \sup \limits _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|\to 0}$ für ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$.

2. Für ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega )}$ mit ${\displaystyle 1\leqq p<\infty }$ folgt:

   ${\displaystyle \|f-f_{\varepsilon }\|_{L^{p}(\Omega )}\to 0}$ für ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$.

Satz 3

Sei ${\displaystyle f\in W^{k,p}(\Omega )}$ durch ${\displaystyle f\equiv 0}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega }$ fortgesetzt. Für ${\displaystyle \varepsilon >0}$ bezeichnet:

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x):={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}K\left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)f(y)\mathrm {d} y}$ mit ${\displaystyle x\in \Omega }$

die regularisierte Funktion der Klasse ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$. Dann gilt für alle Multiindizes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ mit ${\displaystyle |\alpha |\leqq k}$ und alle ${\displaystyle 0<\varepsilon <\operatorname {dist} (x,\mathbb {R} ^{n}\setminus \Omega )}$ die Identität:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{\varepsilon }(x)=(D^{\alpha }f)_{\varepsilon }(x)}$ mit ${\displaystyle x\in \Omega }$.

Beweis

Wir wählen ${\displaystyle \Omega _{j}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ als offene Mengen mit ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ mit:

${\displaystyle \emptyset \subset \Omega _{0}\subset \Omega _{1}\subset \Omega _{2}\subset \ldots \subset \Omega }$ sowie ${\displaystyle {\overline {\Omega _{j}}}\subset \Omega _{j+1}}$ mit ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$,

so d​ass gilt:

${\displaystyle \bigcup \limits _{j=1}^{\infty }\Omega _{j}=\Omega }$.

Weiter sei ${\displaystyle \Psi _{j}\in C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ eine dem Mengensystem ${\displaystyle \left\{\Omega _{j+1}\setminus {\overline {\Omega _{j-1}}}\right\}_{j\in \mathbb {N} }}$ untergeordnete Zerlegung der Eins, d. h., es seien:

${\displaystyle \operatorname {supp} \Psi _{j}\subset \Omega _{j+1}\setminus {\overline {\Omega _{j-1}}}}$ und ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }\Psi _{j}(x)=1}$ mit ${\displaystyle x\in \Omega }$.

Zu vorgegebenem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ wählen wir nun ${\displaystyle \varepsilon _{j}>0}$, so dass ${\displaystyle \varepsilon _{j}<\operatorname {dist} (\Omega _{j+1},\partial \Omega )}$ sowie:

${\displaystyle \left\|(\Psi _{j}f)_{\varepsilon _{j}}-(\Psi _{j}f)\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\leqq {\frac {\varepsilon }{2^{j}}}}$

gemäß d​en Hilfssätzen (insbesondere l​aut des Satzes 1: d​er Vertauschung schwacher Ableitungen m​it der Abglättung n​ach Kurt Friedrichs) richtig ist. Nun gelten:

${\displaystyle g(x):=\sum \limits _{j=1}^{\infty }(\Psi _{j}f)_{\varepsilon _{j}}(x)\in C^{\infty }(\Omega )}$

sowie

${\displaystyle \|g-f\|_{W^{k,p}(\Omega )}=\left\|\sum \limits _{j=1}^{\infty }(\Psi _{j}f)_{\varepsilon _{j}}-\sum \limits _{j=1}^{\infty }(\Psi _{j}f)\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\leqq \sum \limits _{j=1}^{\infty }\left\|(\Psi _{j}f)_{\varepsilon _{j}}-(\Psi _{j}f)\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}}$

resp. zusammen mit der Wahl der ${\displaystyle \varepsilon _{j}>0}$:

${\displaystyle \|g-f\|_{W^{k,p}(\Omega )}\leqq \sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{j}}}=\varepsilon }$.

Da ${\displaystyle f\in W^{k,p}(\Omega )}$ ist, folgt auch ${\displaystyle g\in W^{k,p}(\Omega )}$.[5][6]

Bemerkungen

Es g​ilt folgende Inklusion:

${\displaystyle C^{k,p}(\Omega )\subset W^{k,p}(\Omega )\subset L^{p}(\Omega )}$.

Der Raum ${\displaystyle C^{k,p}(\Omega )}$ ist bezüglich der ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$-Norm nicht abgeschlossen. Gemäß dem Satz von Meyers-Serrin können wir jedoch ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ gerade als die Vervollständigung von ${\displaystyle C^{k,p}(\Omega )}$ unter dieser Sobolev-Norm auffassen. Die partiellen Ableitungen können als stetige Operatoren auf diesen Sobolev-Räumen zu den uns bekannten schwachen Ableitungen fortgesetzt werden.[6]

Bedeutung

• In der älteren Theorie hatte man die Räume ${\displaystyle H^{k,p}(\Omega )}$ als die Abschlüsse von ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\cap W^{k,p}(\Omega )}$ in ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ definiert. Der Satz von Meyers-Serrin besagt, dass die H-Räume mit den W-Räumen zusammenfallen, was den kurzen Titel der unten angegebenen Originalarbeit erklärt.[1]
• Die Definitionsbedingungen für Sobolev-Räume verwenden den Begriff der schwachen Ableitung, gewisse schwache Ableitungen müssen im L^p-Raum ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ liegen. Indem man dieselben Bedingungen für den klassischen Ableitungsbegriff verwendet, kann man die Menge der ${\displaystyle C^{\infty }}$-Funktionen konstruieren, die diese Bedingungen erfüllen, und dann vervollständigen. Der Satz von Meyers-Serrin sagt aus, dass man auf diese Weise dieselben Räume erhält; der Begriff der schwachen Ableitung lässt sich an dieser Stelle also vermeiden.
• Es ist bemerkenswert, dass dieser Satz im Gegensatz zu anderen Dichtheitssätzen über Sobolev-Räume ohne zusätzliche Regularitätsvoraussetzungen an den Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ auskommt.

Literatur

• Norman George Meyers, James Serrin (Department of Mathematics der University of Minnesota): H = W. In: Proc. N. A. S. Band 51, Nr. 6. New York 1. Juni 1964, S. 1055–1056 (pnas.org [PDF]).
• Friedrich Sauvingy: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und Physik. Funktionalanalytische Lösungsmethoden. Band 2. Springer, Heidelberg 2005, ISBN 3-540-23107-2, Kap. X (Schwache Lösungen elliptischer Differentialgleichungen), § 1 (Sobolevräume), Sätze 1–3 (Friedrichs) sowie Satz 4 (Meyers-Serrin), S. 182–185 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

1. Norman George Meyers, James Serrin: H = W. In: Proc. N. A. S. Band 51, Nr. 6. New York 1. Juni 1964, S. 1055–1056 (PDF).
2. Giovanni Maria Troianiello: Elliptic differential equations and obstacle problem. Plenum Press, New York 1987, ISBN 0-306-42448-7, S. 48.
3. Joseph Wloka: Partielle Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02225-7, Satz 3.5 für ${\displaystyle W^{k,2}}$-Räume, S. 74/75.
4. Steffen Fröhlich: Schwache Ableitungen und Sobolevräume. (PDF; 93 kB) Vorlesung 15 (SoSe 2009). (Nicht mehr online verfügbar.) In: Einführung in die Funktionalanalysis. Fachbereich Mathematik und Informatik der Freien Universität Berlin, 14. Juni 2009, S. 1, archiviert vom Original am 1. Mai 2019; abgerufen am 27. Dezember 2012.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.(zu glatten Funktionen: (PDF; 80 kB))
5. Friedrich Sauvingy: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und Physik. Funktionalanalytische Lösungsmethoden. Band 2. Springer, Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-23107-3, Kap. X, § 1, Satz 4, S. 184 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
6. Steffen Fröhlich: Der Satz von Meyers und Serrin. (PDF; 104 kB) Vorlesung 16 (SoSe 2009). (Nicht mehr online verfügbar.) In: Einführung in die Funktionalanalysis. Fachbereich Mathematik und Informatik der Freien Universität Berlin, 9. Juni 2009, S. 4, ehemals im Original; abgerufen am 27. Dezember 2012. (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven)