Satz von Mather-Thurston

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Mather-Thurston e​in Lehrsatz a​us der geometrischen Topologie. Er i​st nach John Mather u​nd William Thurston benannt.

Er besagt, dass man für jede Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ einen Isomorphismus von Kohomologiegruppen

${\displaystyle H^{*}({\text{Homeo}}(M);\mathbb {Z} )\cong H^{*}(B{\text{Homeo}};\mathbb {Z} )}$

hat. Dabei ist die linke Seite die Gruppenkohomologie der Gruppe ${\displaystyle {\text{Homeo}}(M)}$ der Homöomorphismen von ${\displaystyle M}$ und die rechte Seite die Kohomologie des klassifizierenden Raums ${\displaystyle B{\text{Homeo}}(M)}$ dieser Homöomorphismengruppe mit der Kompakt-Offen-Topologie. Der Isomorphismus wird von der stetigen Abbildung ${\displaystyle {\text{Homeo}}(M)^{\delta }\to {\text{Homeo}}(M)}$ induziert, wobei die linke Seite die Homöomorphismengruppe mit der diskreten Topologie ist.

Im Fall orientierter Mannigfaltigkeiten erhält man entsprechend für die Gruppe ${\displaystyle {\text{Homeo}}^{+}(M)}$ der orientierungstreuen Homöomorphismen einen Isomorphismus ${\displaystyle H^{*}({\text{Homeo}}^{+}(M);\mathbb {Z} )\cong H^{*}(B{\text{Homeo}}^{+}(M);\mathbb {Z} )}$. Beispielsweise für ${\displaystyle M=S^{1}}$, den Kreis, ist ${\displaystyle {\text{Homeo}}^{+}(S^{1})}$ homotopie-äquivalent zu ${\displaystyle S^{1}=U(1)}$, also ${\displaystyle H^{*}(B{\text{Homeo}}^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )\cong H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )\cong H^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} \left[e\right]}$, und man erhält dass ${\displaystyle H^{*}({\text{Homeo}}^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )}$ von der Euler-Klasse ${\displaystyle e\in H^{2}({\text{Homeo}}^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )}$ erzeugt wird.

Eine andere Formulierung des Satzes von Mather-Thurston besagt, dass für ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{p}}$ und alle ${\displaystyle r\geq 0}$ die Abbildung ${\displaystyle H_{*}({\text{Diff}}_{K}^{r}(\mathbb {R} ^{p});\mathbb {Z} )\to H_{*}(\Omega ^{p}(B\Gamma _{p}^{r});\mathbb {Z} )}$ ein Isomorphismus von Homologiegruppen (aber keine Homotopie-Äquivalenz) ist. Hier ist ${\displaystyle {\text{Diff}}_{K}^{r}(\mathbb {R} ^{p})}$ die Gruppe der ${\displaystyle C^{r}}$-Diffeomorphismen mit kompaktem Träger, ${\displaystyle B\Gamma _{p}^{r}}$ der klassifizierende Raum der Haefliger-Strukturen (bezüglich der diskreten Topologie) und ${\displaystyle \Omega ^{p}(B\Gamma _{p}^{r})}$ sein ${\displaystyle p}$-fach iterierter Schleifenraum.

Aus dem Satz von Mather-Thurston folgt beispielsweise, dass ${\displaystyle B\Gamma _{p}^{\infty }}$ ein ${\displaystyle (p+1)}$-zusammenhängender Raum ist. Die Topologie des klassifizierenden Raumes ${\displaystyle B\Gamma _{p}^{\infty }}$ ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Verständnis der Kodimension-${\displaystyle p}$-Blätterungen auf Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• W. Thurston: Foliations and groups of diffeomorphisms, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 304–307
• T. Tsuboi: Homology of diffeomorphism groups, and foliated structures, Sūgaku 36(4), 320–343
• T. Tsuboi: Classifying spaces for groupoid structures, Contemp. Math. 498, 67–81
• S. Nariman: A local to global argument on low dimensional manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 373(2), 1307–1342