Satz von Gromoll-Meyer (Positive Krümmung)

Der Satz v​on Gromoll-Meyer i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Differentialgeometrie. Er w​urde von Detlef Gromoll u​nd Wolfgang Meyer bewiesen.

Er besagt, dass eine vollständige, positiv gekrümmte, offene Mannigfaltigkeit diffeomorph zum euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist.

Er verallgemeinert damit den Satz von Cohn-Vossen für Flächen, für den sogar eine schwächere Voraussetzung hinreichend ist: Eine vollständige, nicht-kompakte Fläche nichtnegativer Krümmung, deren Krümmung in mindestens einem Punkt positiv ist, ist diffeomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Es ist eine offene Frage, ob diese schwächere Bedingung auch in höheren Dimensionen hinreichend ist.

Der Satz v​on Bonnet-Myers besagt, d​ass eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, d​eren Schnittkrümmung e​ine positive untere Schranke besitzt, kompakt s​ein muss. Positiv gekrümmte, offene Mannigfaltigkeiten h​aben also notwendigerweise Punkte, i​n denen d​ie Schnittkrümmungen einzelner Ebenen beliebig n​ahe an Null herankommen.

Literatur

• Detlef Gromoll, Wolfgang Meyer: On complete open manifolds of positive curvature, Annals of Mathematics 90 (1969), 75–90.