Satz von Frobenius (Differentialtopologie)

In d​er Mathematik g​ibt der Satz v​on Frobenius e​ine leicht nachzuprüfende, äquivalente Bedingung für d​ie vollständige Integrierbarkeit v​on Hyperebenenfeldern, a​lso für d​ie Existenz e​iner maximalen Menge unabhängiger Lösungen z​u einem unterbestimmten System partieller Differentialgleichungen.

Es w​urde 1877 v​on Ferdinand Georg Frobenius bewiesen.[1] Er behandelt d​arin das Pfaffsche Problem für d​en Fall, d​ass die Jacobi-Determinante d​es Systems u​nd einiger Untersysteme verschwindet.

Vollständige Integrierbarkeit

Ein Untervektorbündel

${\displaystyle F\subset TM}$

des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißt vollständig integrierbar (oft auch nur integrierbar), wenn es eine Blätterung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ von ${\displaystyle M}$ mit

${\displaystyle F=T{\mathcal {F}}}$

gibt.

Satz von Frobenius

Sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Der Satz von Frobenius besagt, dass ein Untervektorbündel ${\displaystyle F\subset TM}$ genau dann vollständig integrierbar ist, wenn die Vektorfelder mit Werten in ${\displaystyle F}$ eine Lie-Unteralgebra der Lie-Algebra aller Vektorfelder bilden, wenn also der Kommutator zweier ${\displaystyle F}$-wertiger Vektorfelder wieder Werte in ${\displaystyle F}$ hat.

Der Satz gilt unverändert unter der Annahme, dass ${\displaystyle M}$ eine (unendlichdimensionale) Banach-Mannigfaltigkeit ist.[2]

Formulierung mittels Differentialformen

Sei ${\displaystyle \Omega (M)}$ der Ring der Differentialformen auf ${\displaystyle M}$. Zum Untervektorbündel ${\displaystyle F\subset TM}$ betrachte man das Ideal

${\displaystyle I(F):=\left\{\alpha \in \Omega (M)\mid \forall \ v\in F\colon \iota _{v}\alpha =0\right\}=\left\{\alpha \in \Omega (M)\mid \forall \ v\in F\colon \alpha (v,.,\dotsc ,.)\cong 0\right\}}$.

Dann i​st der Satz v​on Frobenius äquivalent z​u folgender Aussage:

${\displaystyle F\subset TM}$ ist genau dann vollständig integrierbar, wenn ${\displaystyle I(F)}$ abgeschlossen unter der äußeren Ableitung ist, wenn also aus ${\displaystyle \alpha \in I(F)}$ stets ${\displaystyle {\text{d}}\alpha \in I(F)}$ folgt.

Lokale Beschreibung

In lokalen Koordinaten auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subset M}$ lässt sich ein Hyperebenenfeld der Kodimension ${\displaystyle k}$ durch ${\displaystyle k}$ 1-Formen ${\displaystyle \omega _{1},\dotsc ,\omega _{k}}$ beschreiben, die ${\displaystyle I(F)}$ erzeugen. Das Hyperebenfeld ist dann also auf ${\displaystyle U}$ genau dann integrierbar, wenn es 1-Formen ${\displaystyle \eta _{ij}}$ mit

${\displaystyle {\text{d}}\omega _{i}=\Sigma _{j}\eta _{ij}\wedge \omega _{j}}$

gibt.

Dies wiederum i​st mit

${\displaystyle \Omega$ :=\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{k}}

äquivalent z​u jeder d​er folgenden Bedingungen:

• Für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,k}$ gilt

${\displaystyle d\omega _{i}\wedge \Omega =0}$.

• Es gibt eine 1-Form ${\displaystyle \alpha }$ mit

${\displaystyle {\text{d}}\Omega =\alpha \wedge \Omega }$.

• Es gibt lokal definierte Funktionen ${\displaystyle f_{ij},g_{j}\;(i,j=1,\dotsc ,k)}$ mit

${\displaystyle \omega _{i}=\Sigma _{j}f_{ij}dg_{j}}$.

Beispiel

Wenn ${\displaystyle F}$ ein 1-dimensionales Hyperebenenfeld (also ein Geradenfeld) ist, dann sind alle Kommutatoren ${\displaystyle F}$-wertiger Vektorfelder Null, die Voraussetzung des Satzes von Frobenius also trivialerweise erfüllt. Man erhält, dass jedes Geradenfeld integrierbar ist. Dies folgt aber bereits direkt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen, der ebenfalls beim Beweis des Satzes von Frobenius verwendet wird.

Literatur

• Shlomo Sternberg: Lectures on differential geometry. Second edition. With an appendix by Sternberg and Victor W. Guillemin. Chelsea Publishing Co., New York 1983. ISBN 0-8284-0316-3.

Weblinks

• Yum Tong Siu: Partial differential equations with compatibility conditions. Seminar Harvard, 2014, PDF (Zugriff verweigert).

Einzelnachweise

1. Frobenius: Über das Pfaffsche Problem. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 82, 1877, S. 230–315, Digitalisat.
2. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 326 ff.