Robbins-Konstante

Die Robbins-Konstante, benannt nach David P. Robbins, ist eine geometrische Konstante, die den erwarteten euklidischen Abstand zweier Punkte des dreidimensionalen Einheitswürfels ${\displaystyle [0,1]^{3}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ angibt, die zufällig, unabhängig und gleichverteilt gezogen werden. Die Konstante hat dabei den folgenden Wert:[1]

${\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}$

Ihre Dezimalentwicklung beginnt m​it (Folge A073012 i​n OEIS):[2]

${\displaystyle 0{,}66170718226717623515583\ldots }$

Erläuterung

Der graue Bereich besteht aus den Punkten ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ mit ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}\leq t}$, dessen Fläche ${\displaystyle F(t)}$ ist.

Es soll kurz angedeutet werden, warum es hier zu einem derart komplizierten Ausdruck kommt. Letztlich geht es um das Integral

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}\mathrm {d} z_{1}\mathrm {d} z_{2}}$,

dessen Berechnung mittels wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansätze wie folgt durchgeführt werden kann. Sind ${\displaystyle (X_{1},Y_{1},Z_{1})}$ und ${\displaystyle (X_{2},Y_{2},Z_{2})}$ die zufällig gezogenen Punkte, so muss zur Ermittlung des gesuchten erwarteten Abstandes die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\displaystyle {\sqrt {(X_{1}-X_{2})^{2}+(Y_{1}-Y_{2})^{2}+(Z_{1}-Z_{2})^{2}}}}$ ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle F(t):=P(\{(X_{1}-X_{2})^{2}\leq t\})}$ hat die Form ${\displaystyle F(t)=1-(1-{\sqrt {t}})^{2},\quad t\in [0,1]}$, wie an nebenstehender Skizze abgelesen werden kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man durch Ableiten: ${\displaystyle f(t)={\tfrac {\mathrm {d} F(t)}{\mathrm {d} t}}={\tfrac {1}{\sqrt {t}}}-1}$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe ${\displaystyle (X_{1}-X_{2})^{2}+(Y_{1}-Y_{2})^{2}+(Z_{1}-Z_{2})^{2}}$ ist dann die Faltung ${\displaystyle f*f*f}$, wobei komplizierte Integrale entstehen. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle G(t)=\int _{0}^{t}(f*f*f)(s)\mathrm {d} s}$ beschreibt die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen, aber wir benötigen die Wurzel aus dieser Summe. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist daher ${\displaystyle H(t)=G(t^{2})}$ mit zugehöriger Dichte ${\displaystyle h(t):={\tfrac {\mathrm {d} G(t^{2})}{\mathrm {d} t}}=2t\cdot (f*f*f)(t^{2})}$. Das Integral ${\displaystyle \int th(t)\mathrm {d} t}$ ist schließlich der gesuchte Erwartungswert. Die aufwändigen Rechnungen sind in der unten angegebenen Arbeit[3] mit Maple-Unterstützung ausgeführt, wobei statt des Einheitswürfels der noch kompliziertere Fall eines Quaders behandelt ist.

Einzelnachweise

1. Robbins, David P.; Bolis, Theodore S. (1978), Average distance between two points in a box (solution to elementary problem E2629), American Mathematical Monthly, 85 (4): 277-278
2. Simon Plouffe: The Robbins Constant. Miscellaneous Mathematical Constants.
3. Johan Philip: The probability distribution of the distance between two random points in a box