Reguläre bedingte Verteilung

Die reguläre bedingte Verteilung e​iner Zufallsvariable i​st ein Begriff a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie verallgemeinert d​ie Verteilung e​iner Zufallsvariable u​m den Aspekt, d​ass eventuell s​chon Vorinformationen über d​ie möglichen Ausgänge e​ines Zufallsexperiments bekannt sind. Damit spielt d​ie reguläre bedingte Verteilung e​ine wichtige Rolle i​n der Bayes-Statistik u​nd in d​er Theorie d​er stochastischen Prozesse. Im Gegensatz z​ur (gewöhnlichen) bedingten Verteilung i​st die reguläre bedingte Verteilung mithilfe d​es bedingten Erwartungswertes definiert u​nd nicht m​it der (gewöhnlichen) bedingten Wahrscheinlichkeit, w​as sie wesentlich allgemeiner macht.

Definition

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ und ein Messraum ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ sowie eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Sei ${\displaystyle Y}$ eine Zufallsvariable von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ nach ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$.

Ein Markow-Kern ${\displaystyle \kappa _{Y,{\mathcal {F}}}}$ von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ nach ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ heißt eine reguläre Version der bedingten Verteilung der Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ gegeben ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, wenn

${\displaystyle \kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,B)=P(Y^{-1}(B)|{\mathcal {F}})(\omega )}$

für alle ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ und für ${\displaystyle P}$-fast alle ${\displaystyle \omega }$ gilt.

Dabei ist ${\displaystyle P(A|{\mathcal {F}})(\omega ):=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {F}})(\omega )}$ die bedingte Wahrscheinlichkeit, wie sie über den bedingten Erwartungswert definiert wird.

Explizit bedeuten die Bedingungen in der Definition an die Funktion ${\displaystyle \kappa _{Y,{\mathcal {F}}}\colon \Omega \times {\mathcal {E}}\to [0,1]}$ also:

1. Für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ist ${\displaystyle \kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,\,\cdot \,)}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$,
2. für alle ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ ist ${\displaystyle \kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\,\cdot \,,B)}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-messbare Funktion und
3. für alle ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ und alle ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ gilt ${\displaystyle \int _{F}\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\,\cdot \,,B)\,dP=P(Y^{-1}(B)\cap F)}$.

Bemerkungen

Existenz

Eine reguläre bedingte Verteilung existiert immer für reellwertige Zufallsvariablen, wenn die reellen Zahlen mit der Borelschen σ-Algebra versehen sind. Allgemeiner existiert die reguläre bedingte Verteilung immer für Zufallsvariablen mit Werten in Borel'schen Räumen, also beispielsweise für polnische Räume oder den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jeweils versehen mit der Borelschen σ-Algebra.

Varianten

Analog z​u den Varianten d​es bedingten Erwartungswertes lassen s​ich auch verschiedene Varianten d​er regulären bedingten Verteilung definieren, d​ie sich a​lle auf d​ie obige Definition zurückführen lassen.

• Ohne die Verwendung von Zufallsvariablen lässt sich die bedingte Verteilung von ${\displaystyle P}$ gegeben ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ definieren als der Markow-Kern mit

${\displaystyle \kappa (\omega ,A)=P(A|{\mathcal {F}})(\omega )}$

für ${\displaystyle P}$-fast alle ${\displaystyle \omega }$ und alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

• Ist ${\displaystyle X}$ eine weitere Zufallsvariable von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ in einen weiteren Messraum ${\displaystyle (E_{1},{\mathcal {E}}_{1})}$, so ersetzt man die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ durch die von der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ erzeugte σ-Algebra ${\displaystyle \sigma (X)}$, um die bedingte Verteilung von ${\displaystyle Y}$ gegeben ${\displaystyle X}$ zu erhalten.

Beispiel

Gegeben seien zwei reellwertige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ bezüglich des Lebesgue-Maßes. Dann ist die reguläre bedingte Verteilung von ${\displaystyle Y}$ gegeben ${\displaystyle X}$ gegeben durch die Dichte

${\displaystyle f_{Y|X}(y|x):={\frac {f(x,y)}{f_{X}(x)}}}$,

das heißt, e​s gilt

${\displaystyle \kappa _{Y,\sigma (X)}(\omega ,B)={\frac {\displaystyle \int _{B}f(X(\omega ),y)\,dy}{f_{X}(X(\omega ))}}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }f(x,y)\,dy}$ die Dichte der Randverteilung. Die Tatsache, dass diese Randverteilung im Nenner Null werden kann, ist nicht weiter problematisch, da dies bloß auf einer ${\displaystyle P_{X}}$-Nullmenge passiert.

Berechnung bedingter Erwartungswerte

Ist ${\displaystyle \kappa _{Y,{\mathcal {F}}}}$ eine reguläre Version der bedingten Verteilung einer integrierbaren reellwertigen Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ gegeben ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, dann gilt für den bedingten Erwartungswert von ${\displaystyle Y}$ gegeben ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|{\mathcal {F}})(\omega )=\int _{\mathbb {R} }y\,\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,dy)}$

für ${\displaystyle P}$-fast alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.