Bedingte Verteilung

Die bedingte Verteilung v​on Zufallsvariablen i​st in d​er Stochastik e​ine Möglichkeit, e​ine multivariate Verteilung mithilfe d​er Randverteilungen s​o abzuändern, d​ass die n​eu entstandene Verteilung s​chon vorhandenes Wissen über d​ie Werte v​on einer o​der mehreren Zufallsvariablen berücksichtigt. Bedingte Verteilungen spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Bayesschen Statistik, beispielsweise z​ur Definition d​er A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten. Die bedingte Verteilung basiert a​uf dem Konzept d​er (elementaren) bedingten Wahrscheinlichkeit u​nd weist d​aher Defizite bezüglich Allgemeingültigkeit u​nd im Umgang m​it Nullmengen auf. Die wesentlich allgemeinere reguläre bedingte Verteilung, welche a​uf dem bedingten Erwartungswert aufbaut, h​at diese strukturellen Probleme nicht, i​st aber a​uch weitaus technischer.

Definition

Diskreter Fall

Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ auf ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\displaystyle f(x,y)}$ sowie die Randverteilung bezüglich ${\displaystyle Y}$ und entsprechender Randwahrscheinlichkeitsfunktion ${\displaystyle f_{Y}(y)}$. Dann heißt für ${\displaystyle P(Y=y)>0}$ die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f(x|y):={\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

die bedingte Verteilung von ${\displaystyle X}$ gegeben ${\displaystyle Y=y}$, die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird auch bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß wird meist mit ${\displaystyle P_{X|Y=y}}$ bezeichnet.

Stetiger Fall

Gegeben sei eine Zufallsvariable ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Die Zufallsvariable, welche als Verteilungsfunktion die bedingte Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x|y)=\lim _{h\downarrow 0}P(X\leq x|y\leq Y\leq y+h)}$

besitzt, heißt die bedingte Verteilung von ${\displaystyle X}$ gegeben ${\displaystyle Y=y}$.

Existiert eine gemeinsame Dichte ${\displaystyle f(x,y)}$ von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ und existiert die Randdichte ${\displaystyle f_{Y}(y)}$ bezüglich ${\displaystyle Y}$ und ist ungleich null, so hat die bedingte Verteilung die bedingte Dichte

${\displaystyle f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$.

Beispiel

Betrachte als Beispiel eine multinomialverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z=(X,Y)}$, also ${\displaystyle Z\sim M(n,(p,1-p))}$. Sie besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f_{Z}(x,y)\;=\;{\begin{cases}{n \choose x,y}\;p^{x}(1-p)^{y}&{\mbox{wenn }}x+y=n\\0&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}$,

die Randwahrscheinlichkeit bezüglich ${\displaystyle X}$ ist binomialverteilt, also ist

${\displaystyle f_{X}(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{(n-x)}}$.

Für d​ie bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt s​ich dann

${\displaystyle f(y|x)={\frac {f_{Z}(x,y)}{f_{X}(x)}}={\begin{cases}1&{\text{ falls }}y=n-x\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}$.

Dies ist nicht verwunderlich, da die beiden Zufallsvariablen über ${\displaystyle x+y=n}$ miteinander gekoppelt sind. Die Summe der Erfolge muss immer ${\displaystyle n}$ ergeben, daher bestimmt auch das Ergebnis von ${\displaystyle X}$ bereits das Ergebnis von ${\displaystyle Y}$. Somit ist hier die bedingte Wahrscheinlichkeit deterministisch.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.