Querkraft

Die Querkraft i​st in d​er Theorie d​es Balkens d​ie Bezeichnung e​iner Kraft, d​ie einerseits

• auf den Balken als senkrecht zu seiner Längsachse gerichtete Belastung wirkt,
• und die andererseits in einer Querschnittsfläche des Balkens liegt und dort dessen Beanspruchung auf Scherung darstellt.

Schnittgrößen an einem Balken mit Streckenlast q. Normalkraft N, Querkraft V, Biegemoment M. Die Querkraft ist an den Rändern am größten und hat einen linearen Verlauf.

Definition

Die Spannungsresulanten berechnet sich in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie zu ${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{x}(x)\\V_{y}(x)\\V_{z}(x)\end{pmatrix}}=\int {{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}}$ mit

• ${\displaystyle N_{x}(x)}$ der Normalkraft
• ${\displaystyle V_{y}(x)}$ der Querkraftkomponente in y-Richtung
• ${\displaystyle V_{z}(x)}$ der Querkraftkomponente in z-Richtung
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(x,y,z)={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$ dem Spannungstensor
• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$ der normalen auf den Querschnitt (in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie in x-Richtung)
• ${\displaystyle A}$ der Querschnittsfläche in der verformten Lage

Die Querkraft berechnet sich somit zu ${\displaystyle \mathbf {V} (x)=\int {\begin{pmatrix}0\\\sigma _{xy}(x,y,z)\\\sigma _{xz}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}$

Differenzialbeziehungen

In d​er Balkentheorie g​ibt es u​nter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für d​ie Queranteile:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}$[1][2]
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x)-N^{II}(x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} w_{v}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right]+m(x)}$[1]
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}$[1][3]
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)+{\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}}$

mit

• der Laufkoordinate ${\displaystyle x}$ entlang der Balkenachse
• dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$
• dem Schubmodul ${\displaystyle G}$ (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
• dem Flächenträgheitsmoment I(x)
• ${\displaystyle R(x)}$ der Transversalkraft (in der Theorie I. Ordnung gilt ${\displaystyle R(x)=V(x)}$)
• ${\displaystyle V(x)}$ der Querkraft
• ${\displaystyle N^{II}(x)}$ die Normalkraft nach Theorie Theorie II. Ordnung (in der Theorie I. Ordnung tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
• ${\displaystyle q(x)}$ der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit[3])
• ${\displaystyle M(x)}$ dem Biegemoment
• ${\displaystyle m(x)}$ dem Steckemoment (Biegebelastung pro Längeneinheit[3])
• ${\displaystyle \varphi (x)}$ der Verdrehung
• ${\displaystyle \kappa ^{e}(x)}$ der eingeprägten Krümmung
• ${\displaystyle w(x)}$ der Durchbiegung zufolge Belastung
• ${\displaystyle w_{v}(x)}$ der Durchbiegung zufolge Vorverformung
• ${\displaystyle {\tilde {A}}(x)=\kappa \cdot A}$ der Schubfläche (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).

Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung ${\displaystyle w}$ und dem Biegemoment ${\displaystyle M_{y}(x)}$ im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren Flächenlast ${\displaystyle q_{z}(x)}$ gegeben ist (Die Koordinate ${\displaystyle x}$ wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse ${\displaystyle y}$, die Koordinate ${\displaystyle z}$ verläuft in Richtung der Querkraft.):

Einzelnachweise

1. Bernhard Pichler: 202.068 Baustatik 2. WS2013 Auflage. Wien 2013, VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen (Onlineplattform der TU Wien).
2. Diese Beziehung findet sich schon 1851 in elementarer Form bei Johann Wilhelm Schwedler. Siehe Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Berlin: Ernst & Sohn, S. 494, ISBN 978-3-433-03229-9
3. Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr 202.065. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 S.).