Probit-Modell

Das Probit-Modell i​st in d​er Statistik, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, d​ie Spezifikation e​ines verallgemeinerten linearen Modells. Probit i​st dazu e​in Kofferwort für prob(ability un)it, d​as aus d​en zwei englischen, überlappenden Wörtern für Wahrscheinlichkeit u​nd Einheit (0 o​der 1) entstanden ist.[1]

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Die statistische Spezifikation bezeichnet denjenigen Prozess d​er Modellentwicklung, i​n dem e​in statistisch schätzbares Modell (Schätzmodell) festgelegt wird. Verallgemeinerte lineare Modelle s​ind nichtlineare Erweiterungen d​er klassischen linearen Regression. Das Probit-Modell verwendet e​ine Probit-Kopplungsfunktion, d​ie den Erwartungswert d​er Zielgröße i​n Beziehung z​um linearen Prädiktor d​es Modells setzt. Probit-Modelle wurden v​on Chester Bliss eingeführt.

Anwendung

Die Probit-Modelle werden wie die Logit-Modelle dazu verwendet, binäre Zielgrößen in binären diskreten Entscheidungsmodellen abzubilden. Sie verwenden Zielgrößen ${\displaystyle Y}$, die nur zwei Werte annehmen können. Beispiele:

„Lässt sich scheiden“ → Ja/Nein,

„Kunde ${\displaystyle i}$ hat Produkt A gekauft“ → Ja/Nein,

${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$.

Als Stichprobe werden Kunden beim Ausgang befragt, ob sie das Produkt A gekauft haben. Das Probit-Modell kann erstens – analog zur Regression – berechnen, ob die gleichzeitig erhobenen Merkmale ${\displaystyle X}$ das Kaufverhalten ${\displaystyle Y}$ „gut“ erklären. Im positiven Fall ist eine Schätzung möglich, wie groß der Absatz ist, wenn ${\displaystyle X}$ den ganzen Markt beschreibt.

Diese Modelle h​aben in d​er Anwendung e​ine sehr w​eite Verbreitung. Innerhalb d​er verallgemeinerten linearen Modelle liefert d​as Logit-Modell bessere Resultate b​ei extrem unabhängigen Variablenebenen. Umgekehrt i​st das Probit-Modell i​m Allgemeinen besser b​ei Zufallseffekten m​it Datensätzen mittlerer Größe.

Definition

Probit-Modelle sind ökonometrische, nichtlineare Modelle zur Erklärung von binären Zielgrößen mit der Kodierung: 0 = Ereignis tritt nicht ein, 1 = Ereignis tritt ein. Der Vektor der erklärenden Variablen ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ steht für die verschiedenen Beobachtungen, welche über den Index ${\displaystyle i}$ unterscheidbar sind. Er beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, ob das Ereignis 0 oder 1 eintritt. Sei ${\displaystyle Y}$ die Zielgröße und ${\displaystyle X}$ die Einflussgröße.

Das Probit-Modell i​st eine geschickte Definition b​ei der Modellentwicklung u​nd lautet a​ls Formel:

${\displaystyle \Pr(Y=1|X=x)=\Phi (\mathbf {x} _{i}'{\boldsymbol {\beta }})\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\mathbf {x} _{i}'{\boldsymbol {\beta }}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2}}t^{2}\right)\mathrm {d} \,t}$ ,

Notation:

• ${\displaystyle \Phi (x)}$, gesprochen „Phi von x“, bezeichnet die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung mit der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ einen Wert kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ annimmt.
• Die Normierungskonstante ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ gehört zum Integral von minus unendlich bis ${\displaystyle x}$, geschrieben ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{x}\mathrm {d} \,t}$ über die Exponentialfunktion ${\displaystyle \operatorname {exp} ()}$, und ${\displaystyle t}$ ist eine gebundene Variable.
• Das nichtelementare Integral ist notwendig, um die Normalverteilungsdichte an der Wahrscheinlichkeitsdichte zu normieren. Es wurde 1782 von Pierre-Simon Laplace entwickelt.

Die Formel zum Probit-Modell heißt: Die auf die erklärenden Variablen ${\displaystyle X}$ bedingte Wahrscheinlichkeit „${\displaystyle \Pr }$“, dass die Antwortvariable ${\displaystyle Y}$ gleich ${\displaystyle 1}$ ist, entspricht einer Funktion ${\displaystyle \Phi (x)}$ mit der Linearkombination der erklärenden Variablen ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}'{\boldsymbol {\beta }}}$. Der Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ wird typischerweise mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt. Bei dieser Methode der größten Dichte wird derjenige Vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ als Schätzung ausgewählt, gemäß dessen Verteilung die Realisierung der beobachteten Daten ${\displaystyle Y}$ am plausibelsten erscheint.

Modell

Das Probit-Modell ist ein einfaches latentes Variablenmodell, das den Zusammenhang zwischen beobachtbaren (oder manifesten) Variablen ${\displaystyle Y}$ und dahinter liegenden, latenten Variablen ${\displaystyle X}$ beschreibt. Der Term ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}'{\boldsymbol {\beta }}}$ kann kleine Fehler ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ haben. Darum wird er durch ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ ersetzt:

${\displaystyle y_{i}^{*}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\mathbf {x} _{i}'{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}}$,

wobei die Fehlerterme ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ einer Normalverteilung folgen mit ${\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$. Sie sind ähnlich zur bekannten Gauß-Verteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ mit dem Mittelwert ${\displaystyle 0}$ und der Standardabweichung ${\displaystyle 1}$. Zudem stellt ${\displaystyle Y}$ eine Dummy-Variable (ja-nein-Variable) dar, die ein Indikator dafür ist, ob die latente Variable ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ positiv ist:

${\displaystyle Y\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;1\Leftrightarrow y^{*}>0}$.

Dann k​ann man zeigen, d​ass folgende Gleichung für d​as Probit-Modell erfüllt ist:

${\displaystyle \Pr(Y=1|X=x)=\Phi (\mathbf {x} _{i}'{\boldsymbol {\beta }})}$.

Einzelnachweise

1. Oxford English Dictionary, 3rd ed. s.v. probit (article dated June 2007): C. I. Bliss: The Method of Probits. In: Science. 79, Nr. 2037, 1934, S. 38–39. doi:10.1126/science.79.2037.38. PMID 17813446. „These arbitrary probability units have been called ‘probits’.“