Indexmenge (Mathematik)

In d​er Mathematik bezeichnet Index (Plural: Indizes) e​in Element e​iner Indexmenge, d​as zur Nummerierung unterschiedlichster Objekte herangezogen wird. Oftmals w​ird als Indexmenge d​ie Menge d​er natürlichen Zahlen verwendet.

In d​en Anfängen d​er Mathematik d​er Neuzeit w​urde auch e​in Funktionswert – f(x) i​n moderner Schreibweise – mittels tiefgestelltem Index x a​ls f_x bezeichnet. Die Notation a_i für d​ie Glieder e​iner Folge (als Funktion über natürlichen Zahlen) k​ann als Überbleibsel dieser älteren Schreibweise angesehen werden. Je n​ach Bedarf können, t​rotz Verwechslungsgefahr m​it der Potenzrechnung, a​uch hochgestellte Indizes aⁱ vorkommen.

Index

Ein Index i​st ein Unterscheidungszeichen, d​as oben o​der unten, rechts o​der links a​n ein Zeichen angeheftet wird.[1]

In d​er Mathematik s​teht das Zeichen, a​n das d​er Index angeheftet wird, für e​in mathematisches Objekt u​nd der Index selbst w​ird bevorzugt rechts u​nten an dieses Zeichen notiert. Je n​ach mathematischem Fachbereich u​nd Fragestellung i​st aber a​uch jede andere Position d​es Index denkbar.

Beispiele

• Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis ${\displaystyle n}$ wird durch die Gleichung ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}$ beschrieben. Hier ist die Variable ${\displaystyle i}$ ein Summationsindex, in den der Reihe nach die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …, ${\displaystyle n}$ eingesetzt werden, der also in einer diskreten Menge von Zahlen, der Indexmenge, variiert.

• Der Wert ${\displaystyle Z}$ einer Dezimalzahl ergibt sich durch Summierung ihrer Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert multipliziert werden.

${\displaystyle Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 10^{i}}$,

Beispiel:   ${\displaystyle 703{,}48=7\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}+4\cdot 10^{-1}+8\cdot 10^{-2}}$.

• Bei Funktionenscharen werden Scharparameter meist als Index notiert, während die „normalen“ Argumente in die Klammern hinter den Funktionsnamen geschrieben werden – z. B. ${\displaystyle f_{t}(x).}$

• Bei einer Matrix werden ihre Komponenten, also die einzelnen Werte in der Matrix, häufig indiziert. Die Komponentendarstellung einer ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix ${\displaystyle A}$ lautet beispielsweise

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\,.}$

Dabei trägt jede Komponente ${\displaystyle a_{ij}}$ genau zwei Indizes. Der erste Index gibt an, in welcher Zeile, und der zweite, in welcher Spalte der Matrix die Komponente steht. Sobald nicht beide Indizes aus nur einem Symbol bestehen, setzten viele Autoren ein Komma zwischen sie: ${\displaystyle a_{m+1,n+1}}$.

• In der Physik, speziell in den Tensordarstellungen der Physik, werden doppelte Indizes zur verkürzten Notation von Summen verwendet. Diese Konvention heißt einsteinsche Summenkonvention.

• Bei stochastischen Prozessen und Zeitreihen wird der Zeitparameter häufig als Index geschrieben.

• Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie werden die Schnitte eines Vektorbündels oft in Indexschreibweise bezeichnet, um die Funktionsschreibweise für algebraische Operationen zwischen Fasern verschiedener Bündel über demselben Punkt frei zu haben.

• In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher bezeichnet ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$ den Ring der um 0 konvergenten Potenzreihen in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten. Der Grund für die Schreibung des Index unten-links ist, dass die Position unten-rechts für Teilmengen ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ reserviert ist, in deren Umgebung Funktionen holomorph sein sollen. Man schreibt dann ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}_{K}}$, so dass man einen linken und einen rechten Index hat. Demnach ist ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}={}_{n}{\mathcal {O}}_{\{0\}}}$.

• In der homologischen Algebra verwendet man bei Konstruktionen aus Kettenkomplexen untenstehende Indizes, für die entsprechenden Konstruktionen aus Kokettenkomplexen verwendet man obenstehende Indizes. Daher bezeichnet man Homologiegruppen mit ${\displaystyle H_{n}}$ und Kohomologiegruppen mit ${\displaystyle H^{n}}$.

Indexmenge

Definition

Eine Menge, d​eren Elemente Elemente e​iner anderen Menge durchindizieren, w​ird Indexmenge genannt.

Anmerkung

Eine Indexmenge ist also keine besondere Menge, sondern es kommt vielmehr darauf an, dass man die Elemente der Menge dazu verwendet, andere Objekte zu indizieren. In vielen Fällen wird dazu die Menge der natürlichen Zahlen verwendet. Jedoch kann jede Menge ob mit endlich, abzählbar oder überabzählbar vielen Elementen als Indexmenge eingesetzt werden und fasst dann mathematische Objekte ${\displaystyle A_{\bullet }}$ zu einer Familie ${\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ zusammen (hier ist ${\displaystyle \Lambda }$ die Indexmenge). Verwendet man als Indexmenge die natürlichen Zahlen, so spricht man anstatt von einer Familie von einer Folge. Der Begriff Folge wird auch für Familien verwendet, die mit Ordinalzahlen indiziert werden.

Auswahlfunktion

In d​er Mathematik k​ann der Index mittels d​er Auswahlfunktion formal a​ls Abbildung v​on der Indexmenge i​n die Menge d​er indizierten Objekte definiert werden.

Definition

Sind ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ beliebige Mengen, so kann man das n-Tupel

${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ mit ${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$

als Abbildung

${\displaystyle x\colon \,\{1,\ldots ,n\}\rightarrow X_{1}\cup \ldots \cup X_{n},\,i\mapsto x(i)=:x_{i}\in X_{i}}$,

auffassen. Man nennt ${\displaystyle x}$ Auswahlfunktion.[2]

Auswahlaxiom

Möchte man sich nicht auf endlich viele Mengen ${\displaystyle X_{i}}$ beschränken, sondern unendlich (insbesondere überabzählbare) viele betrachten, dann ist die Existenz der soeben definierten Auswahlfunktion nicht klar. Das heißt, es ist bei unendlich großen Indexmengen nicht immer möglich, eine konkrete Darstellung für die Auswahlfunktion zu finden und damit die Existenz dieser zu zeigen. Dass eine solche Auswahlfunktion doch existiert wird durch das Auswahlaxiom sichergestellt. Jedoch sagt das Axiom nichts über die konkrete Darstellung der Auswahlfunktion.

Siehe auch

• Multiindex

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Index. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Index Set. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Index. In: F.A. Brockhaus (Hrsg.): Der neue Brockhaus. Allbuch in fünf Bänden und einem Atlas. 3. völlig neubearbeitete Auflage. Band 2. Wiesbaden 1962, S. 608, Sp. 2.
2. Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, S. 38.