Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck ${\displaystyle p}$ und spezifischem Volumen ${\displaystyle v}$ die Gleichung ${\displaystyle pv^{n}=\mathrm {const} }$ gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent ${\displaystyle n}$ wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden.[1] Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle d​er polytropen Zustandsänderung sind:

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung

• ${\displaystyle n=0}$ : isobar
• ${\displaystyle n=1}$ : isotherm
• ${\displaystyle n=\infty }$ : isochor
• ${\displaystyle n=\kappa ={\frac {c_{\mathrm {p} }}{c_{\mathrm {v} }}}}$ : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die e​inem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme i​st gegeben durch:[2]

${\displaystyle Q_{12}=m\ c_{\mathrm {v} }{\frac {n-\kappa }{n-1}}\ (T_{2}-T_{1})}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle m}$ die Masse, ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus ${\displaystyle c_{\mathrm {p} }}$, ${\displaystyle c_{\mathrm {v} }}$ und ${\displaystyle n}$ ergibt.

Man spricht a​uch von polytroper Zustandsgleichung:

${\displaystyle p=K\cdot \rho ^{\gamma }}$

mit dem Druck p, der Dichte ${\displaystyle \rho }$, der Polytropenkonstante K und dem Polytropenindex m in ${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{m}}}$. Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

Ideale Gase

Für ideale Gase, b​ei isentropen Zustandsänderungen, gelten außerdem folgende Beziehungen:

${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {n-1}{n}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}}$ bzw.

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n}}$

mit

${\displaystyle T}$: absolute Temperatur

${\displaystyle p}$: Druck

${\displaystyle V}$: Volumen.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt ${\displaystyle n=c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {v} }}$. Mit der isobaren Wärmekapazität ${\displaystyle c_{\mathrm {p} }}$ und der isochoren Wärmekapazität ${\displaystyle c_{\mathrm {v} }}$. Bei zweiatomigen Gasen kann ${\displaystyle n=1{,}403}$ (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) ${\displaystyle n=1{,}66}$ angesetzt werden.

Literatur

• Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)

Einzelnachweise

1. Fran Bosniakovic, "Technische Thermodynamik", 7. Auflage, Steinkopf-Verlag Darmstadt; Kapitel 4.5 "Polytrope Zustandsänderung"
2. Peter Stephan u. a.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, Bd. 1: Einstoffsysteme. 18. Aufl. Springer, Berlin 2013, S. 115, ISBN 3-642-30097-9.

Siehe auch

• Thermische Zustandsgleichung idealer Gase