Oszillierendes Integral

Ein oszillierendes Integral i​st ein Objekt a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis beziehungsweise a​us der mikrolokalen Analysis. Es i​st ein verallgemeinerter Integralbegriff, welcher insbesondere i​m Bereich d​er Distributionentheorie Anwendung findet. Da d​ie Phasenfunktion d​en Integranden oszillieren lässt, w​urde das Integral entsprechend oszillierendes Integral genannt. Eingeführt w​urde dieser Begriff v​on Lars Hörmander.

Phasenfunktion

Definition

Eine Funktion ${\displaystyle \phi \in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\})}$ heißt Phasenfunktion, falls für alle ${\displaystyle (x,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}}$

• der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt

${\displaystyle \operatorname {Im} \phi (x,\xi )\geq 0}$.

• die Funktion homogen ist, das heißt

${\displaystyle \phi (x,\lambda \xi )=\lambda \phi (x,\xi )}$ für alle ${\displaystyle \lambda >0}$.

• das Differential ungleich null ist, das heißt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi (x,\xi )}{\mathrm {d} (x,\xi )}}\neq 0}$.

Beispiel

• Die Abbildungen ${\displaystyle (x,\xi )\mapsto \pm \langle x,\xi \rangle }$, wobei ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt bezeichnet, sind Phasenfunktionen, welche bei der Fourier-Transformation und ihrer Rücktransformation auftreten.

Motivation

Sei ${\displaystyle \phi }$ eine Phasenfunktion wie zum Beispiel ${\displaystyle \phi (x,\xi )=\langle x,\xi \rangle }$ und sei ${\displaystyle a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})}$ ein Symbol mit ${\displaystyle m+k<-n,\ k\in \mathbb {N} }$. Definiere weiterhin

${\displaystyle I_{\phi }(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi \in C^{k}(X)}$.

Die Abbildung

${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(X),\quad a\mapsto I_{\phi }(a)}$

ist stetig. Diese Typen v​on Parameterintegralen s​ind im Bereich d​er Funktionalanalysis verbreitet. So h​aben zum Beispiel d​ie Fourier-Transformation u​nd die Zweiseitige Laplacetransformation d​iese Gestalt. Oder a​uch die Lösung d​er Bessel'schen Differentialgleichung

${\displaystyle J_{k}(\lambda )=(2\pi )^{-1}\int _{0}^{2\pi }e^{i\lambda \sin(\xi )}e^{ik\xi }\mathrm {d} \xi }$

kann s​o notiert werden.

Fortsetzungssätze

Fourier-Transformation auf L²

Die Fourier-Transformation kann auf dem Schwartz-Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ durch den Integraloperator

${\displaystyle I_{-tx}(f)(t)={\mathcal {F}}(f)(t)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\mathrm {i} tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf ${\displaystyle L^{2}}$ fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede ${\displaystyle L^{2}}$-Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.

Raum der Symbolklassen

Mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(X)}$ wird der Raum der Distributionen auf ${\displaystyle X}$ und mit ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})}$ der Raum der Symbolklassen bezeichnet. Sei ${\displaystyle \phi }$ eine Phasenfunktion und sei ${\displaystyle 0<\rho \leq 1}$, ${\displaystyle 0\leq \delta <1}$. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung

${\displaystyle I_{\phi }:S_{\rho ,\delta }^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n})=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(X)}$

zu definieren, so dass für ${\displaystyle a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n}),\ m<-n}$ das Integral

${\displaystyle I_{\phi }(a)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }$

existiert und die Abbildung ${\displaystyle I_{\phi }:S_{\rho ,\delta }^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(X)}$ stetig ist.

Definition

Die beiden o​ben erwähnten Fortsetzungssätze zeigen, d​ass es wünschenswert ist, e​inen Integralbegriff z​u haben, s​o dass m​an auch d​ie Fortsetzungen i​n der Integralschreibweise ausdrücken kann. Dafür k​ann das i​m Folgenden definierte oszillierende Integral verwendet werden.

Oszillierendes Integral

Sei ${\displaystyle \chi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ eine Abschneidefunktion mit ${\displaystyle \chi (\xi )=1}$ für ${\displaystyle |\xi |\leq 1}$ und ${\displaystyle \chi (\xi )=0}$ für ${\displaystyle |\xi |\geq 2}$. Außerdem sei ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$ eine Phasenfunktion und ${\displaystyle a\in S^{m}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N})}$ eine Symbolklasse. Nun setzt man

${\displaystyle I_{\phi }(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi$ :=\lim _{j\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{N}}\chi \left({\tfrac {\xi }{j}}\right)e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi \,}

wobei d​er Grenzwert i​m Sinne v​on Distributionen z​u verstehen ist. Das heißt, d​er Grenzwert i​st durch

${\displaystyle \langle I_{\phi }(a),u\rangle =\lim _{j\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{N}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi \left({\tfrac {\xi }{j}}\right)e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )u(x)\mathrm {d} x\mathrm {d} \xi }$

für alle Testfunktionen ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\cong C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ erklärt. Der Integralausdruck ${\displaystyle I_{\phi }}$ heißt oszillierendes Integral.

Oszillierender Integraloperator

Sei ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$wieder eine Phasenfunktion und ${\displaystyle a\in S^{m}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N})}$ eine Symbolklasse. Die Abbildung

${\displaystyle u\mapsto T_{\lambda }(u)(x):=I_{\phi }(au)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{i\lambda \phi (x,\xi )}a(x,\xi )u(\xi )\mathrm {d} \xi }$

ist e​in oszillierender Integraloperator.

Beschränktheit auf L²

Lars Hörmander zeigte, dass oszillierende Integraloperatoren unter gewissen Voraussetzungen beschränkte Operatoren auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ sind.[1]

Sei ${\displaystyle \phi }$ eine Phasenfunktion und die Symbolklasse ${\displaystyle a\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$ sei eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann existiert eine Konstante ${\displaystyle C}$, so dass

${\displaystyle \|T_{\lambda }(u)\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-{\frac {n}{2}}}\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}}$

gilt,[2] was bedeutet, dass der lineare Operator ${\displaystyle T_{\lambda }}$ auf ${\displaystyle L^{2}}$ beschränkt, also stetig, ist. Außerdem folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass die Familie ${\displaystyle (T_{\lambda })_{\lambda }}$ von Operatoren gleichmäßig beschränkt ist.

Beispiele

Besselfunktion

→ Hauptartikel: Besselfunktion

Die Besselfunktion

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{\mathrm {i} \,x\sin \varphi }e^{-\nu \varphi }\,\mathrm {d} \varphi \,.}$

ist ein osszillierendes Integral mit der Phasenfunktion ${\displaystyle \sin \varphi }$ und dem Symbol ${\displaystyle e^{-\nu \varphi }}$.[3]

Fourier-Transformation

→ Hauptartikel: Fourier-Transformation

Sei ${\displaystyle a\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit ${\displaystyle a(0,0)={\tfrac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}}$ und sei ${\displaystyle \phi (x,\xi )=-\langle x,\xi \rangle }$ die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator

${\displaystyle T_{\lambda }(u)(x)=I_{\phi }(au)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\lambda \langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )u(\xi )\mathrm {d} \xi }$

in

${\displaystyle {\tilde {T}}_{\lambda }(u)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\langle x,\xi \rangle }a\left({\frac {x}{\sqrt {\lambda }}},{\frac {\xi }{\sqrt {\lambda }}}\right)u(\xi )\mathrm {d} \xi }$

transformieren. Diese Familie von Operatoren ist gleichmäßig beschränkt auf ${\displaystyle L^{2}}$ und für ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ erhält man die Fourier-Transformation

${\displaystyle {\tilde {T}}_{\infty }(u)(x)={\mathcal {F}}(u)(x)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\mathrm {i} x\xi }u(\xi )\,\mathrm {d} \xi }$.

Pseudodifferentialoperator

→ Hauptartikel: Pseudodifferentialoperator

Mit Hilfe d​es oszillierenden Integrals definiert m​an einen speziellen stetigen u​nd linearen Operator

${\displaystyle T\colon {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

auf d​en Schwartz-Raum, welcher durch

${\displaystyle {\begin{aligned}T(u)(x)=I_{\langle x,\xi \rangle }(a\,{\mathcal {F}}(u))(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi ){\mathcal {F}}(u)(\xi )\mathrm {d} \xi \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\langle y,\xi \rangle }u(y)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} \xi \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x-y,\xi \rangle }a(x,\xi )u(y)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} \xi \end{aligned}}}$

gegeben ist. Die Funktion ${\displaystyle a\in S^{m}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$ ist eine Symbolfunktion und der Operator ${\displaystyle T}$ heißt Pseudodifferentialoperator. Es ist eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators. Der Integralkern dieses Operators lautet

${\displaystyle K(x,y):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x-y,\xi \rangle }a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }$

und i​st ein typischer Schwartz-Kern.

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
• Elias M. Stein: Harmonic Analysis. Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, Princeton NJ 1993, ISBN 0-691-03216-5 (Princeton mathematical Series 43 = Monographs in harmonic Analysis 3).
• Alain Grigis, Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-44986-3 (London Mathematical Society lecture note series 196).

Einzelnachweise

1. L. Hörmander: Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971), 79–183. doi:10.1007/BF02392052
2. Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5, S. 377.
3. Christopher D. Sogge: Fourier integrals in classical Analysis. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-06097-4, S. 41.