Noether-Theorem

Das Noether-Theorem (formuliert 1918 v​on Emmy Noether) verknüpft elementare physikalische Größen w​ie Ladung, Energie u​nd Impuls m​it geometrischen Eigenschaften, nämlich d​er Invarianz (Unveränderlichkeit) d​er Wirkung u​nter Symmetrietransformationen:

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Dabei i​st eine Symmetrie e​ine Transformation (zum Beispiel e​ine Drehung o​der Verschiebung), d​ie das Verhalten d​es physikalischen Systems n​icht ändert. Es g​ilt auch d​ie Umkehrung:

Jede Erhaltungsgröße ist Generator einer Symmetriegruppe.[1]

Eine Erhaltungsgröße eines Systems von Teilchen ist eine Funktion der Zeit ${\displaystyle t}$, der Orte ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeiten ${\displaystyle v}$ der Teilchen, deren Wert sich auf jeder von ihnen im Laufe der Zeit durchlaufenen Bahn ${\displaystyle x(t)}$ nicht ändert. So ist die Energie ${\displaystyle E(t,x,v)={\tfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}+V(x)}$ eines nichtrelativistischen Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$, das sich im Potential ${\displaystyle V}$ bewegt, eine Erhaltungsgröße. Das heißt, für jede Bahn ${\displaystyle x(t)}$, die der Bewegungsgleichung ${\displaystyle m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\mathrm {grad} \,V(x)=0}$ genügt, gilt zu jeder Zeit ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle E{\bigl (}t,x(t),{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t){\bigr )}=E{\bigl (}0,x(0),{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(0){\bigr )}}$.

Beispiele für Symmetrien und zugehörige Erhaltungsgrößen

• Aus der Homogenität der Zeit (Wahl der Startzeit spielt keine Rolle) folgt die Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz). So bleibt die Energie eines Pendels bei Vernachlässigung von Reibung stets gleich, nicht aber die Energie einer Schaukel, auf der ein Kind durch Heben und Senken seines Körpers die Länge von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt zeitlich verändert.
• Aus der Homogenität des Raums (Wahl des Startortes spielt keine Rolle) ergibt sich die Erhaltung des Impulses (Impulserhaltungssatz). So ist der Impuls eines freien Teilchens konstant, nicht aber der Impuls eines Teilchens im Gravitationsfeld der Sonne; ihr Ort ist für die Bewegung des Teilchens wesentlich. Weil sich ein freies Teilchen der Masse ${\displaystyle m}$ unverändert mit gleichförmiger Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ bewegt, wenn es ein gleichförmig bewegter Beobachter betrachtet, ist der gewichtete Startort, ${\displaystyle S(t,x,v)=m\,(x-t\,v)}$, eine Erhaltungsgröße, ${\displaystyle S(t,x(t),v(t))=m\,x(0)}$. Auf mehrere Teilchen verallgemeinert folgt, dass sich der Schwerpunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt, wenn die Gesamtkraft verschwindet.
• Aus der Isotropie des Raums, also der Rotationsinvarianz (Richtung im Raum spielt keine Rolle), ergibt sich die Erhaltung des Drehimpulses (Drehimpulserhaltungssatz). So bleibt der Drehimpuls eines Teilchens im Gravitationsfeld der Sonne erhalten, denn das Gravitationspotential ${\displaystyle -G\,m\,M{\tfrac {1}{r}}}$ ist in allen Richtungen gleich.

Die Symmetrien, d​ie zur Erhaltung d​er elektrischen Ladung u​nd anderer Ladungen v​on Elementarteilchen gehören, betreffen Wellenfunktionen v​on Elektronen, Quarks u​nd Neutrinos. Jede solche Ladung i​st ein lorentzinvarianter Skalar, d​as heißt, s​ie hat i​n allen Bezugssystemen denselben Wert, anders a​ls beispielsweise d​er Drehimpuls, d​ie Energie o​der der Impuls.

Mathematische Formulierung

Wirkung

Der i​m Noether-Theorem formulierte Zusammenhang v​on Symmetrien u​nd Erhaltungsgrößen g​ilt für solche physikalischen Systeme, d​eren Bewegungs- o​der Feldgleichungen a​us einem Variationsprinzip abgeleitet werden können. Man verlangt hierbei, d​ass das sogenannte Wirkungsfunktional e​inen Extremwert annimmt (siehe a​uch Prinzip d​er kleinsten Wirkung).

Bei der Bewegung von Massepunkten ist dieses Wirkungsfunktional ${\displaystyle S}$ durch eine Lagrangefunktion der Zeit ${\displaystyle t}$, des Ortes ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {x}}={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))}$

charakterisiert und ordnet jeder differenzierbaren Bahnkurve ${\displaystyle x\colon t\mapsto x(t)}$ das Zeitintegral

${\displaystyle S[x]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\,\mathrm {d} t}$

zu. Beispielsweise ist in Newtonscher Physik die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential ${\displaystyle \Phi }$ die Differenz von kinetischer Energie ${\displaystyle T={\tfrac {m}{2}}v^{2}}$ und potentieller Energie ${\displaystyle V=\Phi q}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {x}}^{2}(t)-V(x(t))}$

Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn, die zur Anfangszeit ${\displaystyle t_{1}}$ durch den Startpunkt ${\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}$ und zur Endzeit ${\displaystyle t_{2}}$ durch den Endpunkt ${\displaystyle x_{2}=x(t_{2})}$ geht, macht den Wert der Wirkung im Vergleich mit allen anderen (differenzierbaren) Bahnen, die durch denselben Start- bzw. Endpunkt gehen, stationär (oder extremal). Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn erfüllt daher die Bewegungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}{\mathcal {L}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}}$

(Herleitung s​iehe Variationsrechnung). Dies entspricht gerade d​er Newtonschen Bewegungsgleichung

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}(x)}$.

Differentialgleichungen, d​ie sich derart a​us einem Wirkungsfunktional d​urch Variation ableiten lassen, n​ennt man variationell selbstadjungiert. Alle elementaren Feld- u​nd Bewegungsgleichungen d​er Physik s​ind variationell selbstadjungiert.

Symmetrie

Man sagt, d​ass eine Differentialgleichung e​ine Symmetrie besitzt, w​enn es e​ine Transformation d​es Raumes d​er Kurven gibt, d​ie die Lösungen d​er Differentialgleichungen a​uf Lösungen abbildet. Für variationell selbstadjungierte Differentialgleichungen erhält m​an eine solche Transformation, w​enn die Transformation d​as Wirkungsfunktional b​is auf Randterme invariant lässt. Das Noether-Theorem besagt, d​ass die Invarianz d​es Wirkungsfunktionals gegenüber e​iner einparametrigen stetigen Transformationsgruppe d​ie Existenz e​iner Erhaltungsgröße z​ur Folge h​at und d​ass umgekehrt j​ede Erhaltungsgröße d​ie Existenz e​iner (mindestens infinitesimalen) Symmetrie d​er Wirkung z​ur Folge hat.

Wir beschränken u​ns hier a​uf Symmetrien i​n der klassischen Mechanik.

Sei ${\displaystyle \Phi _{s}}$ eine einparametrige, differenzierbare Gruppe von Transformationen, die (genügend differenzierbare) Kurven ${\displaystyle \Gamma \colon t\mapsto x(t)}$ auf Kurven ${\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(s,t,\Gamma )}$ abbildet, und gehöre der Parameterwert ${\displaystyle s=0}$ zur identischen Abbildung, ${\displaystyle \Phi _{0}\Gamma \colon t\mapsto x(t)}$.

Beispielsweise bildet ${\displaystyle \Phi _{s}\Gamma =\Gamma _{s}}$ mit ${\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(t+s)}$ jede Kurve ${\displaystyle \Gamma }$ auf die um ${\displaystyle s}$ früher durchlaufene Kurve ab. Die Transformation ${\displaystyle \Phi _{s}\Gamma =\Gamma _{s}}$ mit ${\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(t)+s\,c}$ verschiebt jede Kurve um eine Konstante ${\displaystyle s\,c}$.

Die Transformationen ${\displaystyle \Phi _{s}}$ heißen lokal, wenn sich die Ableitung bei der identischen Abbildung, die infinitesimale Transformation

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma )\ ,}$

für alle Kurven ${\displaystyle \Gamma }$ als Funktion ${\displaystyle \delta x(t,x,v)}$ der Zeit, des Ortes ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$, ausgewertet auf der Kurve ${\displaystyle \Gamma }$, schreiben lässt,

${\displaystyle \delta x\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma )}$.

Beispielsweise sind die Verschiebungen von Zeit und Ort lokal und gehören zur infinitesimalen Transformation ${\displaystyle \delta x=v}$ beziehungsweise zu ${\displaystyle \delta x=c}$.

Sei nun ${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,x,v)}$ die Lagrangefunktion des mechanischen Systems. Dann heißen die lokalen Transformationen ${\displaystyle \Phi _{s}}$ Symmetrien der Wirkung, wenn sich für alle Kurven ${\displaystyle \Gamma }$ die Lagrangefunktion bei infinitesimalen Transformationen nur um die Zeitableitung einer Funktion ${\displaystyle K(t,x)}$, ausgewertet auf ${\displaystyle \Gamma }$, ändert:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K\left(t,x(t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(t)\right)}$

Denn d​ann ändert s​ich die Wirkung n​ur um Randterme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}S[\Gamma _{s}]_{|_{s=0}}&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K\left(t,x(t)\right)=K\left(t_{2},x(t_{2})\right)-K\left(t_{1},x(t_{1})\right)\end{aligned}}}$.

Der Zusammenhang dieser Definition der Symmetrie der Wirkung mit der Erhaltungsgröße wird klar, wenn man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach ${\displaystyle s}$ ausführt, und dabei als Kurzschrift die Definition der infinitesimalen Transformation verwendet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t))&={\frac {\partial x(s,t)}{\partial s}}_{|_{s=0}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}(t,x,v)+{\frac {\partial ^{2}x(s,t)}{\partial s\partial t}}_{|_{s=0}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}(t,x,v)\\&=\delta x{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}(t,x,v)+{\frac {\mathrm {d} \delta x}{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}(t,x,v)\end{aligned}}}$

Ergänzt m​an den ersten Term z​u einem Vielfachen d​er Bewegungsgleichung u​nd zieht m​an die Ergänzung b​eim zweiten Term ab, entsteht

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)=\delta x\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)}$

und d​ie Definitionsgleichung e​iner infinitesimalen Symmetrie e​iner Wirkung lautet

${\displaystyle \delta x\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}-K\right)=0}$.

Da aber das ${\displaystyle \delta x}$-Fache der Bewegungsgleichungen auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet, besagt diese Gleichung, dass die Funktion

${\displaystyle Q=\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}-K}$,

die z​ur Symmetrie gehörige Noetherladung, s​ich auf d​en physikalisch durchlaufenen Bahnen n​icht ändert:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}Q\left(t,x_{\mathrm {phys} }(t),{\frac {\mathrm {d} x_{\mathrm {phys} }(t)}{\mathrm {d} t}}\right)=0}$

Umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße definitionsgemäß eine Funktion ${\displaystyle Q(t,x,v)}$, deren Zeitableitung auf physikalischen Bahnen verschwindet, also ein Vielfaches (von Ableitungen) der Bewegungsgleichungen ist. Dieses Vielfache definiert die infinitesimale Symmetrie ${\displaystyle \delta x}$.

Anmerkungen

• Symmetrien der Bewegungsgleichungen sind nicht immer Symmetrien der Wirkung. Beispielsweise ist die Streckung ${\displaystyle x(t)\mapsto \mathrm {e} ^{s}x(t)}$ eine Symmetrie der Bewegungsgleichung ${\displaystyle m{\ddot {x}}=0}$ des freien Teilchens, nicht aber eine Symmetrie seiner Wirkung mit der Lagrangefunktion ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}}$. Zu so einer Symmetrie der Bewegungsgleichungen gehört keine Erhaltungsgröße.
• Die zu einer Symmetrie gehörige Erhaltungsgröße als Funktion der Zeit, des Ortes und der Geschwindigkeiten verschwindet genau dann, wenn es sich um eine Eichsymmetrie handelt. In so einem Fall sind die Bewegungsgleichungen nicht unabhängig, sondern eine Bewegungsgleichung gilt als Folge der anderen. Dies besagt das zweite Noethertheorem.
• Das Noethertheorem für translatorische und rotierende Bewegungen
  • Translatorische Bewegungen: Das Noethertheorem erklärt, warum man bei Multiplikation der Newtonschen Bewegungsgleichungen mit den Geschwindigkeiten bei zeitunabhängigem Potential den Energieerhaltungssatz erhält: Die Geschwindigkeit ist die infinitesimale Änderung des Ortes bei zeitlicher Verschiebung.
  • Rotierende Bewegungen: Ebenso erklärt das Noethertheorem, warum bei drehinvariantem Potential das Produkt der Bewegungsgleichungen mit dem Kreuzprodukt ${\displaystyle {\vec {n}}\times {\vec {x}}}$ auf die Erhaltung des Drehimpulses in Richtung ${\displaystyle {\vec {n}}}$ führt: Das Kreuzprodukt ${\displaystyle {\vec {n}}\times {\vec {x}}}$ ist die infinitesimale Änderung von ${\displaystyle x}$ bei Drehung um die Achse ${\displaystyle {\vec {n}}}$. Die Eulersche Turbinengleichung wendet die Erhaltung des Drehimpulses auf die Auslegung von rotierenden Arbeitsmaschinen (Turbinen) an.
• Bei Verschiebungen und Drehungen des Ortes ist die Lagrangefunktion strikt invariant, das heißt, die Funktion ${\displaystyle K}$ verschwindet. Das gilt aber nicht für zeitliche Verschiebung und bei Transformation auf ein gleichmäßig bewegtes Bezugssystem. Unter zeitlichen Verschiebungen ist die Wirkung invariant, wenn die Lagrangefunktion nur vom Ort ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$, nicht aber von der Zeit abhängt. Dann ändert sich die Lagrangefunktion unter zeitlichen Verschiebungen um ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K}$ mit ${\displaystyle K={\mathcal {L}}}$. Die zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß die Energie

${\displaystyle E=v{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v}}-{\mathcal {L}}}$.

Ist bekannt, wie die Energie von der Geschwindigkeit abhängt, so legt diese Gleichung die Lagrangefunktion bis auf einen Anteil fest, der linear in den Geschwindigkeiten ist und nicht zur Energie beiträgt. Denn zerlegt man die Lagrangefunktion beispielsweise in Anteile ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}v^{n}}$, die homogen vom Grad ${\displaystyle n}$ in der Geschwindigkeit sind, dann tragen sie mit ${\displaystyle v{\tfrac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}_{n}v^{n}-{\mathcal {L}}_{n}v^{n}=(n-1){\mathcal {L}}_{n}v^{n}}$ zur Energie bei. Ist also ${\displaystyle \textstyle E=\sum _{n}E_{n}(x)v^{n}\,}$, so ist die Lagrangefunktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}{\frac {1}{n-1}}E_{n}v^{n}}$.

Insbesondere besteht in Newtonscher Physik die Energie aus der kinetischen Energie, die quadratisch in der Geschwindigkeit ist, ${\displaystyle n=2}$, und der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, ${\displaystyle n=0}$. Daher ist die Lagrangefunktion ${\displaystyle {\tfrac {1}{2-1}}}$-mal die kinetische Energie plus ${\displaystyle {\tfrac {1}{0-1}}}$-mal potentielle Energie. In der relativistischen Physik gilt in Maßsystemen mit ${\displaystyle c=1}$ für die Lagrangefunktion und die Energie eines freien Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-m{\sqrt {1-v^{2}}}}$

${\displaystyle E={\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

Siehe auch

• Impulsabbildung

Einzelnachweise

1. Eugene J. Saletan und Alan H. Cromer: Theoretical Mechanics. John Wiley & Sons, 1971, ISBN 0-471-74986-9, S. 83–86 (englisch).

Literatur

• E. Noether: Invarianten beliebiger Differentialausdrücke. In: Gött. Nachr. 1918, S. 37–44. Zusammenfassung im Zentralblatt MATH.
• E. Noether: Invariante Variationsprobleme. In: Gött. Nachr. 1918, S. 235–257. Zusammenfassung im Zentralblatt MATH.