Mittlere Krümmung

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung ${\displaystyle H}$ der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen ${\displaystyle k_{1}}$ und ${\displaystyle k_{2}}$. Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

${\displaystyle H:={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2}).}$

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche ${\displaystyle H=0}$ bzw. ${\displaystyle k_{1}=-k_{2}}$ gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ durch ${\displaystyle H:={\tfrac {1}{n}}\operatorname {Spur} (S)}$ definieren. Dabei ist ${\displaystyle S}$ die Weingarten-Abbildung und ${\displaystyle \operatorname {Spur} }$ bezeichnet die Spur einer Matrix.

Berechnung

• Sind ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ bzw. ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel

${\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}}$

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ${\displaystyle E=G}$ und ${\displaystyle F=0}$ gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu

${\displaystyle H={\frac {L+N}{2E}}.}$

• Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion ${\displaystyle f}$ über dem Parameterbereich ${\displaystyle U}$, also ${\displaystyle X(u,v)=(u,v,f(u,v))}$ für alle ${\displaystyle (u,v)\in U}$, so gilt für die mittlere Krümmung:

${\displaystyle H={\frac {(1+f_{v}^{2})f_{uu}-2f_{u}f_{v}f_{uv}+(1+f_{u}^{2})f_{vv}}{2{\sqrt {1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}^{3}}}}$.

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle f_{u}}$ und ${\displaystyle f_{v}}$ die ersten und ${\displaystyle f_{uu}}$, ${\displaystyle f_{uv}}$ und ${\displaystyle f_{vv}}$ die zweiten partiellen Ableitungen von ${\displaystyle f}$.

Beispiele

• Die Oberfläche einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ hat die mittlere Krümmung ${\displaystyle H={\tfrac {1}{r}}}$.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius ${\displaystyle r}$ ist die mittlere Krümmung gleich ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2r}}}$

Weitere Eigenschaften

• Für eine Fläche ${\displaystyle X=X(u,v)}$ gilt die Gleichung

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}$

mit der Einheitsnormale ${\displaystyle {\vec {n}}}$, ${\displaystyle g_{ij}}$ als erster Fundamentalform und ${\displaystyle \nabla _{i}}$ der kovarianten Ableitung.

• Wenn eine Fläche ${\displaystyle X=X(u,v)}$ isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem

${\displaystyle \Delta X=2HX_{u}\times X_{v}.}$

• Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion ${\displaystyle F}$ gegeben, so gilt

${\displaystyle 2H=-\operatorname {div} {\vec {n}}=-\operatorname {div} {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}.}$

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {div} }$ die Divergenz und ${\displaystyle {\vec {n}}}$ das Einheitsnormalenfeld ${\displaystyle {\tfrac {\nabla F}{|\nabla F|}}.}$ Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.