Maschinenzahl

Unter e​iner Maschinenzahl versteht m​an eine Zahl, d​ie im Computer i​n binärer Form gespeichert wird. Man unterscheidet d​abei Integerzahlen (Ganze Zahlen) u​nd Gleitkommazahlen o​der Realzahlen (Reelle Zahlen).

Auf Grund der Darstellung in einem konkret vorgegebenen Speicherformat entsteht ein endlicher Zahlenvorrat. Integerzahlen können mit Vorzeichen bei einer Länge von n Bit im Zweierkomplement die Zahlen von ${\displaystyle -2^{(n-1)}}$ bis ${\displaystyle +2^{(n-1)}-1}$ abbilden, ohne Vorzeichen von 0 bis ${\displaystyle 2^{n}-1}$. Bei einer Länge von 8 Bit (ein Byte) können also mit Vorzeichen die Zahlen von −128 bis +127 gespeichert werden, ohne Vorzeichen von 0 bis 255.

Reelle Zahlen werden als Kombination aus Mantisse * Exponent gespeichert. Auf Grund dessen entstehen Rundungsfehler, wenn das Ergebnis nicht zufälligerweise wieder genau eine Maschinenzahl trifft. Wie diese Zahlen konkret gespeichert werden können, ist teilweise genormt – z. B. IEEE 754.

Die Reduktionsabbildung

Die Reduktionsabbildung ${\displaystyle fl:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ bildet eine (exakte) reelle Zahl ${\displaystyle x}$ auf die Computerdarstellung ${\displaystyle fl(x)}$ ab.

Man kann grundsätzlich jede reelle Zahl ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ eindeutig in einer Potenzreihendarstellung zur Basis ${\displaystyle b\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ darstellen:

${\displaystyle x=\pm \left(\sum _{j=1}^{\infty }d_{j}b^{-j}\right)b^{e}}$,

wobei folgende Einschränkungen (für Eindeutigkeit) gelten sollen:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{j}&\in \mathbb {N} _{0}\quad {\text{mit}}\quad {\begin{cases}1\leq d_{1}<b\\0\leq d_{j}<b,\;j=2,3,\ldots \end{cases}}\\e&\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

In einer Computerdarstellung können nicht unbegrenzt lange Mantissen ${\displaystyle d_{j},j\in \mathbb {N} }$ abgespeichert werden, sondern immer nur eine endliche Mantisse ${\displaystyle d_{j},j=1,2,\ldots ,m}$ mit der Mantissenlänge ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$. Des Weiteren gibt es auch ein einschränktes Intervall für den Exponenten: ${\displaystyle -r\leq e\leq R}$ mit ${\displaystyle r,R\in \mathbb {N} }$.

Die Reduktionsabbildung ${\displaystyle fl\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ wird wie folgt definiert:

${\displaystyle fl(x):=\pm \left\{{\begin{matrix}\left(\sum _{j=1}^{m}d_{j}b^{-j}\right)\cdot b^{e}&{\mbox{falls}}\quad d_{m+1}<{\frac {b}{2}}\\\left(\sum _{j=1}^{m}d_{j}b^{-j}+b^{-m}\right)\cdot b^{e}&{\mbox{falls}}\quad d_{m+1}\geq {\frac {b}{2}}.\end{matrix}}\right.}$

Anmerkungen

Die Zahl ${\displaystyle x=0}$ kann auch exakt dargestellt werden mittels: ${\displaystyle fl(0):=0}$.

Für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x\neq 0}$ mit einem Exponenten ${\displaystyle e}$, der nicht im Intervall ${\displaystyle [-r,R]}$ liegt, wird die Reduktionsabbildung wie folgt definiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}fl(x):={\begin{cases}0,&\quad e<-r\\\operatorname {sgn}(x)\cdot \infty ,&\quad e>R.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Wichtig hierbei zu beachten ist, dass ${\displaystyle fl}$ weder injektiv noch surjektiv ist. Es werden nämlich viele Zahlen ${\displaystyle x}$ mit derselben Maschinenzahl dargestellt (deshalb nicht injektiv) bzw. das Bild der Funktion ist nur eine endliche Menge (deshalb nicht surjektiv).

Ein weiterer oft benutzter Namen für die Reduktionsabbildung lautet: ${\displaystyle fl(x)=rd(x)}$.

Mit i​hrer Hilfe k​ann der absolute Rundungsfehler b​ei der Kodierung e​iner Zahl ermittelt werden.

Siehe auch

• die Genauigkeit der Darstellung mittels Maschinenzahlen beschreibt die Maschinengenauigkeit
• Optimierung der Anzahl von Maschinen für technische und wirtschaftliche Abläufe

Weblinks

• Film zu einer Vorlesung von Frank Loose