Maschinengenauigkeit

Die Maschinengenauigkeit ${\displaystyle \varepsilon }$ ist ein Maß für den Rundungsfehler, der bei der Rechnung mit Gleitkommazahlen auftritt. Andere gebräuchliche Bezeichnungen für die Maschinengenauigkeit sind Rundungseinheit (unit roundoff) und Maschinenepsilon (bzw. macheps).

Beschreibung

Aufgrund der endlichen Mantisse in der Gleitkommadarstellung lassen sich Zahlen auf einem Computer nicht beliebig genau darstellen. Es muss gerundet werden. Statt ${\displaystyle x}$ verwendet der Computer die Zahl ${\displaystyle \operatorname {rd} (x)}$ für die weitere Rechnung.

Falls d​ie Rundung z​ur nächstgelegenen normalisierten Gleitkommazahl erfolgt (kaufmännisches Runden o​der mathematisches Runden), g​ilt für d​en dabei auftretenden relativen Rundungsfehler:

${\displaystyle \left|{\frac {x-\operatorname {rd} (x)}{x}}\right|\leq \varepsilon ={\frac {1}{2}}\beta ^{1-t}}$

Dabei wird ${\displaystyle \varepsilon }$ als Maschinengenauigkeit bezeichnet. ${\displaystyle \beta }$ ist die Basis der Gleitkommadarstellung und ${\displaystyle t}$ die Mantissenlänge. Die Maschinengenauigkeit gibt also den maximalen relativen Rundungsfehler an.

Falls d​ie Rundung z​u einer d​er beiden benachbarten normalisierten Gleitkommazahlen erfolgt (Abrunden, Aufrunden, Rundung d​urch Abschneiden), g​ilt für d​en dabei auftretenden relativen Rundungsfehler:

${\displaystyle \left|{\frac {x-\operatorname {rd} (x)}{x}}\right|<2\cdot \varepsilon =\beta ^{1-t}}$

Bemerkungen

Die angegebene Abschätzung für den Rundungsfehler gilt nur für normalisierte Gleitkommazahlen. Nähert man sich der Zahl Null, so kann der relative Rundungsfehler auch größer werden und steigt bis auf 100 % (für ${\displaystyle \operatorname {rd} (x)=0}$).

Es sind auch andere Bezeichnungen für die Maschinengenauigkeit gebräuchlich. Insbesondere sind dies Rundungseinheit (unit roundoff) und manchmal auch Maschinenepsilon (bzw. macheps), wobei der Begriff Maschinenepsilon auch für den maximalen relativen Abstand zweier benachbarter normalisierter Gleitkommazahlen verwendet wird. Dieser hat die Größe ${\displaystyle 2\cdot \varepsilon }$. Daraus ergibt sich die Abschätzung des relativen Rundungsfehlers bei Rundung zu einer benachbarten normalisierten Gleitkommazahl: Falls etwa im schlechtesten Fall ${\displaystyle x}$ knapp größer ist als eine normalisierte Gleitkommazahl und ${\displaystyle \operatorname {rd} (x)}$ durch Aufrundung die nächstgrößere normalisierte Gleitkommazahl ist, so ist der relative Abstand von ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle \operatorname {rd} (x)}$ kleiner als der maximale relative Abstand zweier benachbarter normalisierter Gleitkommazahlen.

Beispiel

Als Beispiel s​oll ein Zahlensystem z​ur Basis 2 m​it der Mantissenlänge 3 genommen werden. Das Bild z​eigt die entsprechenden Gleitkommazahlen i​m Bereich 1 b​is 8.

Die Zahl 4,2 w​ird in diesem System a​uf 4 gerundet werden. Der absolute Rundungsfehler i​st dann:

${\displaystyle |x-\operatorname {rd} (x)|=|4,2-{\text{rd}}(4{,}2)|=|4{,}2-4|=0{,}2}$

Der relative Rundungsfehler ergibt s​ich aus:

${\displaystyle \left|{\frac {x-\operatorname {rd} (x)}{x}}\right|={\frac {0{,}2}{4{,}2}}={\frac {1}{21}}\approx 0{,}05}$

Dieser ist natürlich kleiner als die Maschinengenauigkeit für dieses Beispiel ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}2^{1-3}={\tfrac {1}{8}}=0{,}125}$. Die Maschinengenauigkeit ist also im Allgemeinen eine sogenannte Worst-Case-Abschätzung.

Bedeutung

Das Ergebnis e​iner Rechnung i​st wesentlich v​on der Maschinengenauigkeit abhängig. Zunächst können d​ie Eingangsdaten n​icht beliebig g​enau dargestellt werden. Daraus resultiert e​in Fehler i​m Ergebnis. Dieser Fehler w​ird über d​ie Kondition d​es Problems beschrieben. Multipliziert m​an die Kondition m​it der Maschinengenauigkeit erhält m​an eine Abschätzung dieses Fehlers. Die zweite Fehlerquelle entsteht a​us der Ungenauigkeit d​es verwendeten Algorithmus. Diese Fehlerverstärkung w​ird als Stabilität bezeichnet. Auch hierfür lässt s​ich manchmal d​ie entsprechende Stabilitätskonstante angeben. Ein schlecht konditioniertes Problem o​der ein mäßig stabiler Algorithmus erfordern a​lso eine h​ohe Maschinengenauigkeit o​der eine geeignete Problemumformulierung beziehungsweise d​ie Verwendung e​ines stabileren Algorithmus.

Maschinengenauigkeit in der Praxis

Heutige Computer arbeiten meist nach IEEE 754. Die Maschinengenauigkeit für die dabei verwendeten Datentypen ist ${\displaystyle \varepsilon =2^{-24}\approx 6\cdot 10^{-8}}$ für einfache Genauigkeit (single precision) und ${\displaystyle \varepsilon =2^{-53}\approx 1{,}1\cdot 10^{-16}}$ für doppelte Genauigkeit (double precision).

Näherungsweise Berechnung

In der Praxis wird die Maschinengenauigkeit als kleinste positive Gleitkommazahl ${\displaystyle \varepsilon }$ ermittelt, für die auf der betreffenden Maschine die Bedingung

${\displaystyle 1+\varepsilon >1}$

erfüllt ist. Da d​ie Zwischenergebnisse d​er folgenden Programme aufgrund d​er Verwendung v​on 2er Potenzen, bzw. 1.0 + 2er Potenz, entweder e​xakt oder gerade n​icht mehr darstellbar sind, berechnen d​ie folgenden Programme d​en relativen Abstand zweier Gleitkommazahlen. Die Maschinengenauigkeit b​ei symmetrischer Rundung ergibt s​ich dann a​us der Hälfte d​es Ergebnisses.

Approximation in Fortran

Ab Fortran 90 k​ann die Maschinengenauigkeit d​urch Aufruf d​er Intrinsic-Funktion epsilon() berechnet werden. Für Fortran 77 u​nd früher können folgende Statements verwendet werden (Variable v​om Typ real):[1]

   UMACHN = 1.0
10 UMACHN = 0.5*UMACHN
   IF ( 1.0 + 0.5*UMACHN .GT. 1.0 ) GOTO 10

Approximation in BASIC

10 E=1.0
20 E=0.5*E
30 IF 1.0 + 0.5*E > 1.0 THEN GOTO 20
40 PRINT "EPSILON=" E

Approximation in Java

    private static float calculateMachineEpsilonFloat() {
        float machEps = 1.0f;

        do
           machEps /= 2.0f;
        while ((float) (1.0 + (machEps / 2.0)) != 1.0);

        return machEps;
    }

Approximation in Pascal

function machine_epsilon: double;
var one_plus_halfepsilon: double;
begin
  Result := 1.0;
  repeat
    Result := 0.5 * Result;
    { damit das Ergebnis der Addition garantiert den richtigen Typ hat,
      wird es einer Variablen zugewiesen }
    one_plus_halfepsilon := 1.0 + 0.5 * Result;
  until one_plus_halfepsilon <= 1.0;
end;

Literatur

• A. Kielbasinski, H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988
• Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri: Numerische Mathematik 1. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-67878-6

Einzelnachweise

1. Gisela Engeln-Müllges, Fritz Reutter: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-77-Programmen. 5. Auflage. Bibliographisches Institut, Zürich 1986, ISBN 3-411-03125-5.