Satz von Schoenflies

Der im Jahre 1908 von Arthur Moritz Schoenflies bewiesene Satz von Schoenflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man das Tuch so verziehen, dass aus der Kurve ein Kreis wird.

Satz

Es sei $K\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine geschlossene Jordankurve und $S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ bezeichne den Einheitskreis. Dann lässt sich jeder Homöomorphismus $h\colon K\to S^{1}$ zu einem Homöomorphismus $H\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ fortsetzen.

Höhere Dimensionen

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schoenflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre (siehe[1] und Weblink) ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine $(n-1)$ -dimensionale Sphäre $S$ lokal flach in eine $n$ -dimensionale Sphäre $S^{n}$ eingebettet, so ist das Paar $(S^{n},S)$ homöomorph zu $(S^{n},S^{n-1})$ , wobei $S^{n-1}$ der Äquator der $n$ -Sphäre ist. (Dabei heißt eine Einbettung $i:S^{n-1}\rightarrow S^{n}$ lokal flach, wenn es eine Einbettung $S^{n-1}\times \left[0,1\right]\rightarrow S^{n}$ gibt, die auf $S^{n-1}\times \left\{0\right\}=S^{n-1}$ mit $i$ übereinstimmt.)

Dies gilt insbesondere für differenzierbar eingebettete Sphären, wo das Resultat als Satz von Mazur bekannt ist.

Folgerung

Der Satz von Schoenflies zieht unmittelbar den Jordanschen Kurvensatz nach sich: Die beiden disjunkten Gebiete, in die $\mathbb {R} ^{2}\setminus K$ zerlegt wird, sind gerade $H^{-1}(\{x\in \mathbb {R} ^{2}:\|x\|_{2}<1\})$ (das beschränkte Gebiet) und $H^{-1}(\{x\in \mathbb {R} ^{2}:\|x\|_{2}>1\})$ (das unbeschränkte Gebiet).[2]

Literatur

Morton Brown: A proof of the generalized Schoenflies theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society, 66, 1960, ISSN 0002-9904, S. 74–76, ams.org (PDF; 280 kB)
Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9.
Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).

Weblinks

Eric Weisstein: Schoenflies Theorem. In: MathWorld (englisch).
Alexanders „gehörnte Sphäre“ in der englischsprachigen Wikipedia

Einzelnachweise

Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 144.
Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 150 (MR0533264).

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[1] Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 144.

[2] Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 150 (MR0533264).