Lobatschewskische Formeln

Die lobatschewskischen Formeln s​ind zwei mathematische Formeln für uneigentliche Integrale i​m Zusammenhang m​it dem Kardinalsinus, welche d​em Teilgebiet d​er Analysis zuzurechnen sind. Gemäß d​er Darstellung v​on G. M. Fichtenholz i​n Band II d​er dreibändigen Differential- u​nd Integralrechnung wurden s​ie von d​em russischen Mathematiker Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856) gefunden.[1]

Darstellung der Formeln

Sie lauten:[2]

Gegeben sei eine reelle Funktion

${\displaystyle f\colon [0,\infty [\to \mathbb {R} }$

mit folgenden Eigenschaften:

(1) ${\displaystyle f}$ ist im Intervall ${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$ eigentlich oder uneigentlich Riemann-integrierbar.

(2) Die mit dem Kardinalsinus gebildete Produktfunktion ${\displaystyle f\cdot \operatorname {si} \colon [0,\infty [\to \mathbb {R} \;,x\mapsto f(x)\cdot \operatorname {si} (x)}$ ist im Intervall ${\displaystyle [0,\infty [}$ uneigentlich Riemann-integrierbar.

(3) ${\displaystyle f}$ ist eine ${\displaystyle \pi }$-periodische Funktion, erfüllt also für ${\displaystyle x\in [0,\infty [}$ stets die Gleichung ${\displaystyle f(x+{\pi })=f(x)}$ .

(4) ${\displaystyle f}$ erfüllt für ${\displaystyle x\in [0,\pi ]}$ stets die Gleichung ${\displaystyle f({\pi }-x)=f(x)}$ .

Dann gilt:

(a) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x}$

(b) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x}$

Anwendungen

Mit Hilfe d​er lobatschewskischen Formeln (und u​nter Zuhilfenahme d​er üblichen Rechenmethoden d​er Integralrechnung) lassen s​ich mehrere Identitäten ableiten, u​nter anderem d​ie folgenden:

(A-1) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$[3]

(A-2) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2n+1}x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\;(n=0,1,2,3,\ldots )}$[4][5]

(A-3) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$[6]

(A-4) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan {\left(a\cdot \sin x\right)}}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot \ln {\left(a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)}\;(a>0)}$[7]

(A-5) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\ln {|{\sin x}|}\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=-{{\frac {\pi }{2}}\cdot \ln 2}}$[8][9]

(A-6) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln {|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}}$[8]

(A-7) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\ln }^{2}{|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\pi \cdot \ln 2}}$[8]

Hintergrund: Partialbruchzerlegungen

Wie Fichtenholz darlegt, beruhen die lobatschewskischen Formeln wesentlich auf den Partialbruchzerlegungen der beiden Funktionen ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}\;,\;x\mapsto {\frac {1}{{\sin }^{2}x}}\;(x\notin {\pi \cdot \mathbb {Z} })}$ . Hier gilt:[10]

${\displaystyle {\frac {1}{\sin x}}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}\left({\frac {1}{x-n\pi }}+{\frac {1}{x+n\pi }}\right)}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}{\pi }^{2}}}}}$

sowie

${\displaystyle {\frac {1}{{\sin }^{2}x}}={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{\left[x-n\pi \right]^{2}}}+{\frac {1}{\left[x+n\pi \right]^{2}}}\right)}}$   .

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.

Einzelnachweise

1. G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 635–636, 655–657, 695, 832
2. Fichtenholz, op. cit., S. 655–657, 695
3. Fichtenholz, op. cit., S. 635–636
4. Fichtenholz, op. cit., S. 656
5. Mit dem doppelten Ausrufezeichen wird die Doppelfakultätenfunktion gekennzeichnet.
6. Fichtenholz, op. cit., S. 656–657
7. Fichtenholz, op. cit., S. 656, 697
8. Fichtenholz, op. cit., S. 695
9. Mit ${\displaystyle |\cdot |}$ wird die Betragsfunktion gekennzeichnet.
10. Fichtenholz, op. cit., S. 489, 656