Linear topologisierter Ring

Ein linear topologisierter Ring i​st ein topologischer Ring, dessen Topologie v​on einer Umgebungsbasis v​on Idealen induziert wird. Diese Ringe finden Anwendung i​n der formalen u​nd analytischen Geometrie.

Definition

Ein topologischer Ring heißt linear topologisiert, w​enn seine Topologie v​on einer Umgebungsbasis v​on Idealen induziert wird.[1]

In d​er Theorie formaler Schemata, r​igid analytischer Räume u​nd adischer Räume s​ind viele verschiedene linear topologisierte Ringe i​m Gebrauch. Wir g​eben einen Überblick über d​ie wichtigsten Definitionen.

• Ein Ideal ${\displaystyle I}$ eines linear topologisierten Ringes ${\displaystyle R}$ heißt Definitionsideal, falls ${\displaystyle I}$ offen ist und jede Umgebung von ${\displaystyle 0}$ das Ideal ${\displaystyle I^{n}}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ enthält.[2]
• Besitzt ein linear topologisierter Ring ein Definitionsideal, so heißt er prä-zulässig.[3]
• Ein vollständiger und separierter prä-zulässiger Ring heißt zulässig.[4]
• Ein prä-zulässiger Ring heißt prä-adisch, falls es ein Definitionsideal ${\displaystyle I}$ gibt, sodass ${\displaystyle \{I^{n}\}_{n\geq 0}}$ eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle 0}$ ist.[5]
• Ein vollständiger und separierter prä-adischer Ring heißt adisch.[6]

Hier s​ind verschiedene Konventionen i​m Gebrauch: Beispielsweise n​ennt Morel e​inen prä-adischen Ring bereits "adisch".[7]

Huber-Ringe

Diese Begriffe werden weiter z​u sogenannten Huber-Ringen verallgemeinert. Sie bilden d​ie Grundlage für d​ie Definition v​on Huber-Paaren, welche d​ie Grundbausteine adischer Räume sind.

• Ein topologischer Ring ${\displaystyle A}$ heißt Huber-Ring (oder f-adisch), falls es einen offenen Teilring ${\displaystyle A_{0}\subset A}$ gibt, der prä-adisch für ein endlich erzeugtes Definitionsideal ${\displaystyle I\subset A_{0}}$ ist. Wir nennen ${\displaystyle A_{0}}$ einen Definitionsring von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle (A_{0},I)}$ ein Definitionspaar für ${\displaystyle A}$.[8]
• Ein Tate-Ring (oder Tatescher Huber-Ring) ist ein Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit enthält. Das ist ein invertierbares Element ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle a^{n}\to 0}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$.[9]
• Ein Huber-Ring ${\displaystyle A}$ heißt garbig (engl. sheafy), falls für jeden Ring ganzer Elemente ${\displaystyle A^{+}}$ der Vervollständigung ${\displaystyle {\hat {A}}}$, die Strukturprägarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathrm {Spa} ({\hat {A}},A^{+})}}$ des adischen Spektrums ${\displaystyle \mathrm {Spa} ({\hat {A}},A^{+})}$ eine Garbe topologischer Ringe ist.[10]

Beispiele

• Ist ${\displaystyle A}$ ein diskreter Ring, so ist ${\displaystyle A}$ ein adischer Huber-Ring mit Definitionsideal ${\displaystyle 0}$. Jeder Teilring von ${\displaystyle A}$ ist ein Definitionsring. Ein Element von ${\displaystyle A}$ ist genau dann topologisch nilpotent, wenn es nilpotent ist, denn jede gegen ${\displaystyle 0}$ konvergente Folge ist stationär. Insbesondere ist ${\displaystyle A}$ nicht Tatesch, es sei denn ${\displaystyle A}$ ist der Nullring.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein indiskreter Ring, so ist ${\displaystyle A}$ ein prä-adischer Huber-Ring mit Definitionsideal ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle A}$ selbst ist der einzige Definitionsring und das einzige Definitionsideal für ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle A}$ ist nicht separiert, es sei denn ${\displaystyle A}$ ist der Nullring. Jedes Element ist topologisch nilpotent, insbesondere ist ${\displaystyle 1}$ eine topologisch nilpotente Einheit und ${\displaystyle A}$ ist Tatesch. Man beachte, dass dieses Beispiel insofern pathologisch ist, als dass bei adischen Räumen grundsätzlich mit vollständigen Ringen gearbeitet werden kann. Beim Übergang zur Vervollständigung erhalten wir den Nullring.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ mit der ${\displaystyle p}$-adischen Topologie ist ein adischer Huber-Ring mit Definitionsring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ und Definitionsideal ${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$. Er ist kein Tate-Ring, denn jedes topologisch nilpotente Element in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle p}$ und somit nicht invertierbar.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ mit der ${\displaystyle p}$-adischen Topologie ist ein adischer Tate-Ring mit Definitionsring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ und Definitionsideal ${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$. Das Element ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} _{p}}$ ist eine topologisch nilpotente Einheit. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ selbst ist aber nicht linear topologisiert, denn ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ist weder diskret noch indiskret.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Standard-Topologie ist weder linear topologisiert noch ein Huber-Ring. Jede offene Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist bereits ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Literatur

• Torsten Wedhorn: Adic Spaces, Arxiv
• Sophie Morel: Adic spaces, abgerufen am 30. Dezember 2020.
• Stacks-Projekt Tag 07E8, abgerufen am 30. Dezember 2020.

Einzelnachweise

1. Stacks project: Tag 07E8 (3)
2. Stacks project: Tag 07E8 (4)
3. Stacks project: Tag 07E8 (5)
4. Stacks project: Tag 07E8 (6)
5. Stacks project: Tag 07E8 (7)
6. Stacks project: Tag 07E8 (8)
7. Morel: Def. II.1.1.1 (ii)
8. Morel: Def. II.1.1.1 (iii)
9. Morel: Def. II.1.1.1 (iv)
10. Wedhorn: Def. 8.26